3.2 Image et rang

Définition 3.11.

Soit

f : R^{n} \to R^{p}

. L’ensemble image de

f

est défini par

Im (f) = {f (v) : v \in R^{n}} = {w \in R^{p} : \exists v \in R^{n} tel que f (v) = w} .

L’ensemble image d’une application est donc formé de toutes les images $f (v)$ possibles, c’est-à-dire des éléments de l’ensemble d’arrivée qui possèdent au moins une préimage.

Théorème 3.12.

Soit

f : R^{n} \to R^{p}

une application linéaire, associé à la matrice

A \in M_{p, n} (R)

. Alors

Im (f)

est un sous-espace vectoriel de

R^{p}

de dimension

r

, où

r = rg (A) .

On appellera aussi

r

le rang de

f

r = rg (f)

En utilisant la linéarité de

f

, on peut toujours écrire, pour

v = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in R^{n}

f (v) = f (x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + \dots + x_{n} e_{n}) = x_{1} = v_{1} f (e_{1}) + x_{2} = v_{2} f (e_{2}) + \dots + x_{n} = v_{n} f (e_{n})

Ainsi, puisque toutes les images possibles

f (v)

s’obtiennent en prenant toutes les valeurs possibles de

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

, on peut écrire

Im (f) = Vect {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}

Pour fixer les idées, considérons le cas

n = p = 3

. Dans ce cas,

Im (f) = Vect {v_{1}, v_{2}, v_{3}},

où

v_{k} = f (e_{k})

k = 1, 2, 3

. Rappelons que

f

est associée à la matrice

A = [[v_{1}]_{B_{can}} [v_{2}]_{B_{can}} [v_{3}]_{B_{can}}]

Soit

r := rg (A) \in {0, 1, 2, 3}

. Distinguons les cas:

Cas $r = 0$ : Alors $v_{1} = v_{2} = v_{3} = (0, 0, 0)$ , et donc $Im (f) = {(0, 0, 0)} .$
Cas $r = 1$ : Alors $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{2}$ sont proportionnels deux à deux et au moins un des trois est non-nul. Si on suppose par exemple que $v_{1} \neq = (0, 0, 0)$ (et que $v_{2}, v_{3}$ lui sont proportionnels) alors
$Im (f) = Vect {v_{1}},$
qui est une droite vectorielle de $R^{3}$ , de dimension $1$ .
Cas $r = 2$ : Alors deux des vecteurs sont non-colinéaires, et le troisième est combinaison linéaire des deux autres. Si on suppose par exemple que $v_{2}$ et $v_{3}$ ne sont pas colinéaires et $v_{1}$ est combinaison linéaire de $v_{2}$ et $v_{3}$ , alors
$Im (f) = Vect {v_{2}, v_{3}},$
qui est un plan vectoriel de $R^{3}$ , de dimension $2$ .
Cas $r = 3$ : Alors $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ est une base de $R^{3}$ :
$Im (f) = Vect {v_{1}, v_{2}, v_{3}} = R^{3},$
l’espace tout entier, de dimension $R^{3}$ .

□

Exemple 3.13.

Considérons l’application

f : R^{2} \to R^{2}

associée à la matrice

A = (1 - 1 - 1 2) .

Puisque les colonnes de

A

ne sont pas proportionnelles,

det (A) \neq = 0

, et donc

rg (f) = rg (A) = 2

, ce qui signifie que l’ensemble image de

f

est tout

R^{2}

Im (f) = Vect {(1, - 1), (- 1, 2)} = R^{2} .

Exemple 3.14.

Considérons l’application

f : R^{2} \to R^{2}

associée à la matrice

A = (1236) .

Puisque la première colonne n’est pas nulle et que la deuxième est multiple de la première, on a

rg (f) = rg (A) = 1

. En écrivant explicitement la relation entre les colonnes,

C_{2} = 3 C_{1}

, on obtient la décomposition colonne-ligne minimale

A = (C_{1} 3 C_{1}) = C_{1} (13) = (12) (13) .

Si on écrit la même chose au niveau de

f

f (x, y) = (x + 3 y, 2 x + 6 y) = (x + 3 y) (1, 2),

qui signifie que

Im (f)

est la droite vectorielle

Vect {(1, 2)}

(On voit qu’effectivement, quel que soit

v \in R^{2}

f (v)

est toujours sur la droite

Im (f) = Vect {(1, 2)}

Exemple 3.15.

Reprenons le cas de l’application

f : R^{3} \to R^{3}

associée à la matrice

A = - 2 11 31 - 4 1 - 3 2 .

Calculons le rang de

f

, ainsi que son ensemble image.
En regardant les colonnes de

A

A = (C_{1} C_{2} C_{3})

, on remarque que

C_{2} + 2 C_{1} = - C_{3}

, ce qui permet d’écrire

A = (C_{1} C_{2} - 2 C_{1} - C_{2}) .

Comme

C_{1}

C_{2}

ne sont pas proportionnelles, on a donc

r = rg (A) = 2

Im (f)

est un plan vectoriel. Mais on peut en dire plus, car puisque

A = (C_{1} 0 - 2 C_{1}) + (0 C_{2} - C_{2}) = C_{1} (10 - 2) + C_{2} (01 - 1) = - 2 11 (10 - 2) + 31 - 4 (01 - 1) .

On peut ensuite écrire, pour

v = (x, y, z)

[f (v)]_{B_{can}} = A [v]_{B_{can}} = - 2 11 (10 - 2) x y z + 31 - 4 (01 - 1) x y z = (x - 2 z) - 2 11 + (y - z) 31 - 4 .

En résumé:

(x, y, z) = v \mapsto f (v) = (x - 2 z) v_{1} (- 2, 1, 1) + (y - z) v_{2} (3, 1, - 4)

Les vecteurs

v_{1}

v_{2}

ne sont pas proportionnels, et forment donc une base du plan

Im (f) = Vect {v_{1}, v_{2}}

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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