2.7 Bases de ℝ³

2.7 Bases de $R^{3}$

Définition 2.27.

Soient

v_{1}, v_{2}, v_{3} \in R^{3}

. La partie de $R^{3}$ engendrée par $v_{1}, v_{2}$ et $v_{3}$ est le sous ensemble défini par

Vect {v_{1}, v_{2}, v_{3}} = {t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2} + t_{3} v_{3} : t_{1}, t_{2}, t_{3} \in R} \subset R^{3} .

Pour la discussion ci-dessous, on suppose que

v_{1} = (α_{1}, α_{2}, α_{3}), v_{2} = (β_{1}, β_{2}, β_{3}), v_{3} = (γ_{1}, γ_{2}, γ_{3}) .

Si $v_{1} = v_{2} = v_{3} = (0, 0, 0)$ , alors $Vect {v_{1}, v_{2}, v_{3}} = {(0, 0, 0)}$ .
Si $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ sont 2 à 2 proportionnels, et qu’au moins un des trois est différent de $(0, 0, 0)$ , alors $Vect {v_{1}, v_{2}, v_{3}}$ est une droite vectorielle (dimension $1$ ). Ce cas correspond à $rg α_{1} α_{2} α_{3} β_{1} β_{2} β_{3} γ_{1} γ_{2} γ_{3} = 1, α_{1} α_{2} α_{3} β_{1} β_{2} β_{3} γ_{1} γ_{2} γ_{3} = 0 .$
Si deux des $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ ne sont pas proportionnels et que le troisième est combinaison linéaire des deux premiers, alors $Vect {v_{1}, v_{2}, v_{3}}$ est un plan vectoriel (dimension $2$ ). Ce cas correspond à $rg α_{1} α_{2} α_{3} β_{1} β_{2} β_{3} γ_{1} γ_{2} γ_{3} = 2, α_{1} α_{2} α_{3} β_{1} β_{2} β_{3} γ_{1} γ_{2} γ_{3} = 0 .$
Si aucun des $v_{k}$ ne peut s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres, alors $Vect {v_{1}, v_{2}, v_{3}} = R^{3}$ . Ce cas correspond à $rg α_{1} α_{2} α_{3} β_{1} β_{2} β_{3} γ_{1} γ_{2} γ_{3} = 3, α_{1} α_{2} α_{3} β_{1} β_{2} β_{3} γ_{1} γ_{2} γ_{3} \neq = 0 .$

Définition 2.28.

La donnée de n’importe quelle triplet

v_{1}, v_{2}, v_{3}

dans lequel il n’existe aucune relation de dépendance linéaire (aucun vecteur ne peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres) forme une base de

R^{3}

, notée

B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}}

Si $B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}}$ est une base $R^{3}$ , alors pour tout $v \in V$ il existe des réels $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ tels que

v = t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2} + t_{3} v_{3} .

On appelle $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ les composantes (ou coordonnées) de $v$ relativement à $B$ , et on écrit

[v]_{B} = t_{1} t_{2} t_{3} .

Définition 2.29.

La base canonique de

R^{3}

est

B_{can} = {e_{1}, e_{2}, e_{3}}

, où

e_{1} = (1, 0, 0), e_{2} = (0, 1, 0), e_{3} = (0, 0, 1) .

Pour un $v = (x, y, z)$ ,

v = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) = x e_{1} + y e_{2} + z e_{3},

et donc

[v]_{B_{can}} = x y z .

Exemple 2.30.

Soit

B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}}

, où

v_{1} = (3, 0, 0), v_{2} = (0, 0, \frac{1}{2}), v_{3} = (0, - 1, 0) .

Cette famille forme bien une base puisque

300 00 \frac{1}{2} 0 - 1 0 = \frac{3}{2} \neq = 0 .

Pour un

v = (x, y, z)

v = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) = \frac{x}{3} (3, 0, 0) - y (0, - 1, 0) + 2 z (0, 0, \frac{1}{2}) = \frac{x}{3} v_{1} + 2 z v_{2} - y v_{3},

donc

[v]_{B} = \frac{x}{3} 2 z - y

Voyons comment le changement de base permet d’obtenir le même résultat. Pour ce faire, on commence par reprendre l’expression des éléments de la base

B

en fonction de ceux dans la base canonique:

v_{1} v_{2} v_{3} = 3 e_{1} + 0 e_{2} + 0 e_{3} = 0 e_{1} + 0 e_{2} + \frac{1}{2} e_{3} = 0 e_{1} + (- 1) e_{2} + 0 e_{3} .

On peut ainsi écrire

(v_{1} v_{2} v_{3}) = (e_{1} e_{2} e_{3}) = P 300 00 \frac{1}{2} 0 - 1 0,

que l’on peut résumer par “

B = B_{can} P

”. Comme on l’a fait pour le cas des bases de

R^{2}

, on peut montrer que les composantes de

v

relativement à

B

s’obtiennent en utilisant la matrice inverse de

P

[v]_{B} = Q [v]_{B_{can}} = P^{- 1} [v]_{B_{can}} = \frac{1}{3} 00 00 - 1 020 x y z = \frac{x}{3} 2 z - y

Cette façon de faire peut paraître un peu coûteuse au vu de la dépendance simple entre les vecteurs de

B

B_{can}

, mais la méthode est robuste dans un cadre plus général.

Exemple 2.31.

Soit

B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}}

, où

v_{1} = (- 1, 1, 1) v_{2} = (0, 2, 1) v_{3} = (1, 0, 2) .

Puisque

- 1 11 021102 = - 5 \neq = 0,

B

est bien une base de

R^{3}

. Puisque

(v_{1} v_{2} v_{3}) = (e_{1} e_{2} e_{3}) = P - 1 11 021102

Ainsi, si

v = (x, y, z)

[v]_{B} = Q [v]_{B_{can}} = P^{- 1} [v]_{B_{can}} = \frac{1}{5} - 4 21 - 1 3 - 1 2 - 1 2 x y z = \frac{- 4 x - y + 2 z}{5} \frac{2 x + 3 y - z}{5} \frac{x - y + 2 z}{5}

Si on écrit explicitement ce que nous venons de démontrer: tout

v = (x, y, z) \in R^{3}

peut s’écrire

(x, y, z) = \frac{- 4 x - y + 2 z}{5} v_{1} + \frac{2 x + 3 y - z}{5} v_{2} + \frac{x - y + 2 z}{5} v_{3}

Cette écriture fait directement apparaitre les équations de certains plans vectoriels:

Vect {v_{1}, v_{2}} Vect {v_{1}, v_{3}} Vect {v_{2}, v_{3}} = {(x, y, z) : x - y + 2 z = 0}, = {(x, y, z) : 2 x + 3 y - z = 0}, = {(x, y, z) : - 4 x - y + 2 z = 0} .

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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2.7 Bases de R3

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