2.3 Bases de ℝ² et composantes

2.3 Bases de $R^{2}$ et composantes

Définition 2.7.

Soient

w_{1}, w_{2} \in R^{2}

. La partie de $R^{2}$ engendrée par

w_{1}

w_{2}

est le sous-ensemble défini par

Vect {w_{1}, w_{2}} := {t_{1} w_{1} + t_{2} w_{2} : t_{1}, t_{2} \in R} \subset R^{2} .

$Vect {w_{1}, w_{2}}$ est donc formé de toutes les combinaisons linéaires possibles de $w_{1}$ et $w_{2}$ .

Si $w_{1} = w_{2} = (0, 0)$ , alors $t_{1} w_{1} + t_{2} w_{2} = (0, 0)$ pour tous $t_{1}, t_{2} \in R$ , et donc $Vect {w_{1}, w_{2}} = {(0, 0)}$ , qui a dimension $0$ .
Si un des points $w_{1}, w_{2}$ est différent de $(0, 0)$ , et si l’autre lui est proportionnel, alors $Vect {w_{1}, w_{2}}$ est une droite vectorielle, qui a dimension $1$ . Par exemple, si $w_{1} \neq = (0, 0)$ et $w_{2} = λ w_{1}$ , alors $Vect {w_{1}, w_{2}} = Vect {w_{1}}$ .
Si $w_{1}$ et $w_{2}$ sont les deux différents de $(0, 0)$ , et s’ils ne sont pas colinéaires, alors $Vect {w_{1}, w_{2}} = R^{2}$ , qui a dimension $2$ .

Ce dernier cas, dans lequel toutes les combinaisons linéaires de $w_{1}$ et $w_{2}$ permettent de reconstruire $R^{2}$ , motive la définition suivante:

Définition 2.8.

La donnée de deux vecteurs

w_{1}, w_{2} \in R^{2}

non-colinéaires constitue une base de

R^{2}

, notée

B = {w_{1}, w_{2}}

Si $B = {w_{1}, w_{2}}$ est une base de $R^{2}$ , alors pour tout $v \in V$ il existe deux uniques réels $t_{1}, t_{2}$ tels que

v = t_{1} w_{1} + t_{2} w_{2} .

On dit qu’on a décomposé $v$ dans la base $B$ , et on appelle $t_{1}$ et $t_{2}$ les composantes (ou coordonnées) de $v$ relativement à $B$ . On écrit:

[v]_{B} = (t_{1} t_{2}) .

Définition 2.9.

La base canonique de

R^{2}

est

B_{can} = {e_{1}, e_{2}}

, où

e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1) .

Puisqu’on peut toujours écrire

v = (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) = x e_{1} + y e_{2},

les composantes de $v = (x, y)$ relativement à la base canonique sont simplement $x$ et $y$ :

[v]_{B_{can}} = (x y)

La base canonique est l’unique base pour laquelle les composantes d’un vecteur $v = (x, y)$ sont exactement $x$ et $y$ . Dans toute autre base, les composantes de $v = (x, y)$ sont en général différentes.

Exemple 2.10.

Considérons le point

v = (- 1, 1)

, et calculons ses composantes relativement à des bases différentes.

Relativement à $B_{can} = {e_{1}, e_{2}}$ : puisque $v = (- 1, 1) = (- 1) e_{1} + e_{2}$ , on sait que $[v]_{B_{can}} = (- 1 1) .$
Soit $B = {w_{1}, w_{2}}$ , où $w_{1} = (1, 1)$ , $w_{2} = (2, - 1)$ . Comme $w_{1}$ et $w_{2}$ ne sont pas colinéaires, $B$ est bien une base de $R^{2}$ . Les composantes de $v$ relativement à $B$ sont les deux réels $t_{1}, t_{2}$ tels que
$v = t_{1} w_{1} + t_{2} w_{2},$
c’est-à-dire
$(- 1, 1) = t_{1} (1, 1) + t_{2} (2, - 1),$
qui peut s’exprimer comme un système:
${t_{1} t_{1} + - 2 t_{2} t_{2} = = - 1 1$
dont la solution est $t_{1} = 1/3$ , $t_{2} = - 2/3$ . Ainsi,
$[v]_{B} = (1/3 - 2/3) .$
On vérifie qu’effectivement
$\frac{1}{3} (1, 1) - \frac{2}{3} (2, - 1) = (- 1, 1) .$
Plus généralement, on peut calculer de la même manière les composantes d’un vecteur quelconque $v = (x, y)$ relativement à $B$ , en posant
$(x, y) = t_{1} (1, 1) + t_{2} (2, - 1),$
qui donne le système
${t_{1} t_{1} + - 2 t_{2} t_{2} = = x y$
dont la solution est $t_{1} = \frac{x + 2 y}{3}$ , $t_{2} = \frac{x - y}{3}$ . Ainsi,
$[v]_{B} = (\frac{x + 2 y}{3} \frac{x - y}{3}) .$
Soit maintenant $B^{'} = {w_{1}^{'}, w_{2}^{'}}$ , où $w_{1}^{'} = (0, 2)$ , $w_{2} = (\frac{1}{3}, 0)$ . Comme $w_{1}^{'}$ et $w_{2}^{'}$ ne sont pas colinéaires, $B^{'}$ est bien une base de $R^{2}$ . Pour les composantes de $v$ relativement à $B^{'}$ , on cherche $t_{1}^{'}, t_{2}^{'}$ tels que
$v = t_{1}^{'} w_{1}^{'} + t_{2}^{'} w_{2}^{'},$
c’est-à-dire
$(- 1, 1) = t_{1}^{'} (0, 2) + t_{2}^{'} (\frac{1}{3}, 0),$
qui peut s’exprimer comme un système:
${2 t_{1}^{'} t_{2}^{'} /3 = = - 1 1$
dont la solution est $t_{1}^{'} = \frac{1}{2}$ , $t_{2}^{'} = - 3$ . Ainsi,
$[v]_{B^{'}} = (12 - 3)$
Plus généralement, on peut calculer de la même manière les composantes d’un vecteur quelconque $v = (x, y)$ relativement à $B$ , en posant
$(x, y) = t_{1} (1, 1) + t_{2} (2, - 1),$
et on trouve $t_{1}^{'} = \frac{y}{2}$ , $t_{2}^{'} = 3 x$ . Ainsi,
$[v]_{B} = (\frac{y}{2} 3 x)$

2.3.1 Changement de base

On a vu dans la section précédente comment calculer les composantes d’un vecteur $v = (x, y)$ relativement à différentes bases. Essayons maintenant de voir de plus près comment relier ces composantes de façon plus directe.

Remarque 2.11.

Ce que l’on dit ici est essentiel à la compréhension du ”changement de base” en général, et sera adapté plus tard, notamment dans

R^{3}

et dans les plans vectoriels de

R^{3}

Supposons que l’on ait deux bases de $R^{2}$ , $B = {w_{1}, w_{2}}$ et $B^{'} = {w_{1}^{'}, w_{2}^{'}}$ . Un vecteur $v = (x, y)$ possède

des composantes relativement à $B$ , $[v]_{B} = (t_{1} t_{2})$ ,
des composantes relativement à $B^{'}$ , $[v]_{B^{'}} = (t_{1}^{'} t_{2}^{'})$ .

Notre but est de comprendre comment $t_{1}, t_{2}$ sont reliées à $t_{1}^{'}, t_{2}^{'}$ .

Pour commencer, remarquons que puisque $B$ est une base, chaque vecteur de la base $B^{'}$ peut se décomposer dans $B$ : il existe deux réels $α, β$ tels que

w_{1}^{'} = α w_{1} + β w_{2},

et deux autres réels $γ, δ$ tels que

w_{2}^{'} = γ w_{1} + δ w_{2} .

En utilisant une notation matricielle, ces deux relations peuvent être résumées en une seule:

(w_{1}^{'} w_{2}^{'}) = (w_{1} w_{2}) (α β γ δ) .

Cette dernière expression représente un abus de notation, puisqu’elle ne représente pas un “vrai” produit matriciel. En effet,

(w_{1}^{'} w_{2}^{'})

(w_{1} w_{2})

ne sont pas des vraies matrices de

M_{1, 2} (R)

, puisque les

w_{k}

w_{k}^{'}

sont des vecteurs de

R^{2}

! Malgré tout, l’écriture est utile puisque

elle est facile à retenir,
elle introduit une vraie matrice $P \in M_{2} (R)$ qui encode la relation entre les deux bases $B$ et $B^{'}$ , qui peut encore être résumée comme suit: $B^{'} = B P$

Définition 2.13.

La matrice

P \in M_{2} (R)

définie par

P = (α β γ δ)

est appelée la matrice de changement de base de $B$ vers $B^{'}$ .

Une première propriété de $P$ :

Lemme 1.

P

est inversible.

On vérifie que les colonnes ne

P

ne sont pas proportionnelles (ce qui implique que

rg (P) = 2

, et donc que

P

est inversible). En effet, supposons par exemple que la deuxième colonne est un multiple

λ

de la première:

P = (α β γ δ) = (α β λ α λ β) .

Ceci implique que

w_{2}^{'} = γ w_{1} + δ w_{2} = λ α w_{1} + λ β w_{2} = λ (α w_{1} + β w_{2}) = λ w_{1}^{'},

et donc que

B^{'}

ne peut pas être une base.

□

On peut maintenant reprendre la question posée plus haut: si on connaît la relation entre $B$ et $B^{'}$ , quelle est la relation entre $[v]_{B}$ et $[v]_{B^{'}}$ pour un vecteur $v$ fixé?

Proposition 1.

Soient

B

B^{'}

deux bases de

R^{2}

, reliées par la matrice de changement de base

P

. Pour un vecteur

v \in R^{2}

quelconque, on a

[v]_{B^{'}} = Q [v]_{B},

où

Q \in M_{2} (R)

est donnée par l’inverse de

P

Q = P^{- 1}

Prenons

v \in R^{2}

, et récrivons ce que représentent ses composantes relativement à

B

B^{'}

[v]_{B} = (t_{1} t_{2}) [v]_{B^{'}} = (t_{1}^{'} t_{2}^{'}) \Leftrightarrow v = t_{1} w_{1} + t_{2} w_{2}, \Leftrightarrow v = t_{1}^{'} w_{1}^{'} + t_{2}^{'} w_{2}^{'} .

En rappelant que les coefficients de

P

donnent les relations entre les vecteurs des bases,

w_{1}^{'} w_{2}^{'} = α w_{1} + β w_{2} = γ w_{1} + δ w_{2},

on peut écrire

v = t_{1}^{'} w_{1}^{'} + t_{2}^{'} w_{2}^{'} = t_{1}^{'} (α w_{1} + β w_{2}) + t_{2}^{'} (γ w_{1} + δ w_{2}) = (= t_{1} t_{1}^{'} α + t_{2}^{'} γ) w_{1} + (= t_{2} t_{1}^{'} β + t_{2}^{'} δ) w_{2} .

(On a utilisé l’unicité des composantes relativement à une base.) Ainsi, la relation entre

t_{1}, t_{2}

t_{1}^{'}, t_{2}^{'}

est la suivante:

{t_{1} t_{2} = = α t_{1}^{'} β t_{1}^{'} + + γ t_{2}^{'} δ t_{2}^{'} \Leftrightarrow (t_{1} t_{2}) = (α β γ δ) (t_{1}^{'} t_{2}^{'}) \Leftrightarrow (t_{1} t_{2}) = P (t_{1}^{'} t_{2}^{'})

Puisque

P

est inversible, cette dernière est équivalente à

(t_{1}^{'} t_{2}^{'}) = = Q P^{- 1} (t_{1} t_{2}),

qui est ce que nous devions démontrer:

[b]_{B^{'}} = Q [v]_{B}

□

On a donc la structure suivante: les composantes des points se font avec une matrice qui est l’inverse de la matrice de changement de base.

Exemple 2.14.

Reprenons les bases de l’exemple plus haut, pour lequel nous avions

B_{can} B B^{'} = {e_{1}, e_{2}}, = {w_{1}, w_{2}}, = {w_{1}^{'}, w_{2}^{'}}, e_{1} = (1, 0), w_{1} = (1, 1), w_{1}^{'} = (0, 2), e_{2} = (0, 1) w_{2} = (2, - 1) w_{2}^{'} = (\frac{1}{3}, 0) .

Considérons un point

v = (x, y)

, pour lequel

[v]_{B_{can}} = (x y),

et cherchons ses composantes relativement à

B

B^{'}

, cette fois en utilisant la formule du changement de composantes démontrée dans la proposition.

Relativement à $B$ . Dans ce cas, puisque
$w_{1} w_{2} = (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) = e_{1} + e_{2}, = (2, - 1) = (2, 0) + (0, - 1) = 2 e_{1} - e_{2},$
la matrice de changement de base de $B_{can}$ vers $B$ est
$P = (11 2 - 1) .$
On calcule donc facilement:
$Q = P^{- 1} = \frac{1}{- 3} (- 1 - 1 - 2 1) = (1/3 1/3 2/3 - 1/3),$
qui donne
$[v]_{B} = Q^{- 1} [v]_{B} = (1/3 1/3 2/3 - 1/3) (x y) = (\frac{x + 2 y}{3} \frac{x - y}{3}),$
comme nous avions trouvé.
Par exemple, pour $v = (3, - 1)$ ,
$[(3, - 1)]_{B} = (\frac{3 - 2}{3} \frac{3 + 1}{3}) = (1/3 4/3)$
Et en effet, on a bien que
$\frac{1}{3} (1, 1) + \frac{4}{3} (2, - 1) = (3, - 1)$
Relativement à $B^{'}$ . Plutôt que de passer par la base canonique, remarquons qu’il est facile de décomposer les points de $B$ dans $B^{'}$ :
$w_{1} w_{2} = (1, 1) = \frac{1}{2} (0, 2) + 3 (\frac{1}{3}, 0) = \frac{1}{2} w_{1}^{'} + 3 w_{2}^{'} = (2, - 1) = - \frac{1}{2} (0, 2) + 6 (\frac{1}{3}, 0) = - \frac{1}{2} w_{1}^{'} + 6 w_{2}^{'},$
c’est-à-dire $B = B^{'} P$ , où
$P = (1/2 3 - 1/2 6) .$
On a donc $[v]_{B} = P^{- 1} [v]_{B^{'}}$ , ou encore
$[v]_{B^{'}} = (P^{- 1})^{- 1} [v]_{B} = P [v]_{B} .$
En utilisant $[v]_{B}$ , que nous avions trouvé au point précédent,
$[v]_{B^{'}} = P [v]_{B} = (1/2 3 - 1/2 6) (\frac{x + 2 y}{3} \frac{x - y}{3}) = (y /2 3 x),$
qui est bien ce qu’on devait trouver.

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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