2.6 Intersection de plans vectoriels dans ℝ³

2.6 Intersection de plans vectoriels dans $R^{3}$

Soient $V$ et $V^{'}$ deux plans vectoriels de $R^{3}$ . Comment décrire leur intersection, $V \cap V^{'}$ ?

On supposera que les équations cartésiennes des deux plans sont connues:

V : V^{'} : a x + b y + cz = 0 a^{'} x + b^{'} y + c^{'} z = 0 .

Proposition 2.

V = V^{'}

si et seulement si

(a, b, c)

(a^{'}, b^{'}, c^{'})

sont proportionnels.

Il est clair que si

(a, b, c)

(a^{'}, b^{'}, c^{'})

sont proportionnels, alors

V = V^{'}

.
Inversément, supposons que

V = V^{'}

Puisque le point $(b, - a, 0)$ appartient à $V$ , il appartient aussi à $V^{'}$ , et donc $a^{'} b + b^{'} (- a) = 0 \Leftrightarrow a^{'} b^{'} a b = 0$
Puisque le point $(c, 0, - a)$ appartient à $V$ , il appartient aussi à $V^{'}$ , et donc $a^{'} c + c^{'} (- a) = 0 \Leftrightarrow a^{'} c^{'} a c = 0$
Puisque le point $(0, c, - b)$ appartient à $V$ , il appartient aussi à $V^{'}$ , et donc $b^{'} c + c^{'} (- b) = 0 \Leftrightarrow b^{'} c^{'} b c = 0$

Comme on sait, le fait que ces trois déterminants s’annulent implique que

(a, b, c)

(a^{'}, b^{'}, c^{'})

sont proportionnels.

□

Passons à la description de l’intersection des deux plans, dont les équations sont celles données plus haut:

V \cap V^{'} = {v = (x, y, z) : a x + b y + cz = 0 et a^{'} x + b^{'} y + c^{'} z = 0}

On peut commencer par remarquer que cette intersection n’est jamais vide puisque $(0, 0, 0)$ est contenu dans tous les plans vectoriels de $R^{3}$ . Ensuite, la proposition précédente dit que si $(a, b, c)$ et $(a^{'}, b^{'}, c^{'})$ sont proportionnels, alors $V = V^{'}$ , ce qui implique que $V \cap V^{'} = V = V^{'}$ .

On est donc intéressé au cas où $(a, b, c)$ et $(a^{'}, b^{'}, c^{'})$ ne sont pas proportionnels. Et dans ce cas, l’intersection $V \cap V^{'}$ est une droite vectorielle, et il s’agit de donner sa direction.

Proposition 3.

Soit

V

V^{'}

les plans d’équations

V : V^{'} : a x + b y + cz = 0, a^{'} x + b^{'} y + c^{'} z = 0 .

(a, b, c)

(a^{'}, b^{'}, c^{'})

ne sont pas proportionnels, alors l’intersection de

V

V^{'}

est la droite vectorielle,

V \cap V^{'} = Vect {v_{in t}}

, où

v_{in t} = (b c b^{'} c^{'}, - a c a^{'} c^{'}, a b a^{'} b^{'}) \in R^{3}

Puisque

V \cap V^{'}

est une droite, elle est entièrement caractérisée par la donnée d’un seul de ses points, du moment que ce point est différent de

(0, 0, 0)

. Posons donc

v_{in t} = (α, β, γ)

, où

α = b c b^{'} c^{'}, β = - a c a^{'} c^{'}, γ = a b a^{'} b^{'} .

Puisque

(a, b, c)

(a^{'}, b^{'}, c^{'})

ne sont pas proportionnels, on sait que

α

β

γ

ne sont pas tous nuls, ce qui implique

v_{in t} \neq = (0, 0, 0)

. Maintenant, remarquons que

a α + b β + c γ = a b c a b c a^{'} b^{'} c^{'} = 0

(car deux colonnes égales), et donc

v_{in t} \in V

, mais aussi

a^{'} α + b^{'} β + c^{'} γ = a^{'} b^{'} c^{'} a b c a^{'} b^{'} c^{'} = 0,

(car deux colonnes égales), et donc

v_{in t} \in V^{'}

.
Ceci implique

v_{in t} \in V \cap V^{'}

, et donc

v_{in t}

engendre bien

V \cap V^{'}

□

Remarque 2.25.

Remarquons que la définition de

v_{in t}

coïncide avec ce qui est communément appelé le produit vectoriel de

(a, b, c)

avec

(a^{'}, b^{'}, c^{'})

a b c \times a^{'} b^{'} c^{'} = b c^{'} - c b^{'} - (a c^{'} - c a^{'}) a b^{'} - b a^{'}

Mais nous n’utiliserons pas cette terminologie dans la suite de ce cours.

Exemple 2.26.

Concisérons les plans

V V^{'} : x - 3 y + z = 0 : 2 x + y + 3 z = 0 .

Comme

(1, - 3, 1)

(2, 1, 3)

ne sont pas proportionnels,

V \cap V^{'}

est la droite vectorielle

Vect {v_{in t}}

, où

v_{in t} = (- 3 1 13, - 1123, 1 - 3 21) = (- 10, - 1, 7) .

Remarquons qu’on aurait aussi pu calculer cette intersection en résolvant le système

{x 2 x - + 3 y y + + z 3 z = = 00

En faisant par exemple

L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}

{x - 3 y 7 y + + z z = = 00,

qui donne

y = - \frac{1}{7} z

, et

x = 3 y - z = - \frac{3}{7} z - z = - \frac{10}{7} z

. Donc toutes les solutions sont de la forme

v = (x, y, z) = (- \frac{10}{7} z, - \frac{1}{7} z, z) = \frac{z}{7} (- 10, - 1, 7),

qui redonne bien

V \cap V^{'} = Vect {(- 10, - 1, 7)}

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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