Les applications linéaires des sections précédentes, à savoir projections et symétries, ont pu être visualisées et interprétées géométriquement à l’aide de leurs éléments caractéristiques, d’une manière qui ne dépend pas du repère choisi.

Dans cette section et les suivantes, on va s’intéresser à certaines applications linéaires $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ qui auront un sens géométrique précis, mais une interprétation géométrique simple sera possible seulement lorsqu’on se restreint à des repères particuliers.

4.4.1 Repères orthonormés

Un repère orthonormé direct permettra en particulier de parler d’angles. On peut par exemple associer à tout angle $\theta$ le vecteur

qui se visualise, dans un repère orthonormé, par le point associé à $\theta$ sur le cercle trigonométrique:

On a en particulier que $e_1=v_0$, $e_2=v_{\frac{\pi }{2}}$.

4.4.2 Rotations

Dans cette section, on étudie les applications linéaires $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ dont l’effet se visualise, dans un repère orthonormé, par une rotation d’angle $\theta$ autour de l’origine $O$.

Rappelons que pour tout vecteur $v\in {\mathbb{R}}^2$,

où les colonnes de $A\in M_2(\mathbb{R})$ sont les composantes des images des vecteurs de base relativement à la base canonique:

Or puisqu’on veut que $f$ représente une rotation d’angle $\theta$, il faut que

et donc

De manière générale, une matrice du type

représente une rotation dès que $a$ et $b$ satisfont à la contrainte suivante: le point $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ doit appartenir au cercle trigonométrique, ce qui se traduit par

Dans un repère orthonormé, une rotation $f$ associée à $R_{\theta }$ se visualise donc comme agissant sur les vecteurs du plan par une rotation d’angle $\theta$ (dans le sens anti-horaire) autour de l’origine $O$: si $v=(x,y)=x{e}_1+y{e}_2$, alors