3.4 Décompositions colonne-ligne minimales

Dans cette section, on montre comment les décompositions colonne-ligne minimales sont intimement liées à la description de l’ensemble image et du noyau d’un application linéaire.

Soit $f : R^{n} \to R^{p}$ linéaire, associée à la matrice $A \in M_{p, n} (R)$ en base canonique: $[f]_{B_{can}} = A$ . Supposons que son rang est égal à

r = rg (f) = rg (A) \in {0, 1, 2, \dots, p} .

En procédant comme dans les sections précédentes, on peut écrire une décomposition colonne-ligne minimale contenant $r$ termes:

A = C_{1} L_{1} + C_{2} L_{2} + \dots + C_{r} L_{r},

où

chaque colonne $C_{k} \in M_{p, 1} (R)$ , et
chaque ligne $L_{j} \in M_{1, n} (R)$ .

Le fait que la décomposition est minimale implique qu’aucune colonne $C_{k}$ (respectivement: aucune ligne $L_{j}$ ) ne peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres.

Exemple 3.21.

A \in M_{3} (R)

et si $rg (A) = 1$ , une décomposition colonne-ligne minimale est de la forme $A = c_{1} c_{2} c_{3} (l_{1} l_{2} l_{3}),$
et si $rg (A) = 2$ , une décomposition colonne-ligne minimale est de la forme $A = c_{1} c_{2} c_{3} (l_{1} l_{2} l_{3}) + c_{1}^{'} c_{2}^{'} c_{3}^{'} (l_{1}^{'} l_{2}^{'} l_{3}^{'}) .$

Voyons comment une décomposition colonne-ligne minimale de la matrice associée à une application linéaire $f$ permet d’écrire $f$ sous une forme qui fasse apparaître directement $Im (f)$ et $Ker (f)$ .

Pour illustrer le propos, supposons pour simplifier que $n = p = 3$ . Dans ce cas chaque colonne $C_{k}$ peut se voir comme l’ensemble des composantes d’un certain vecteur $v_{k} \in R^{3}$ , relatives à la base canonique,

C_{k} = [v_{k}]_{B_{can}} .

Écrivons les lignes de la décomposition comme suit:

L_{j} = (α_{j} β_{j} γ_{j})

On a donc, pour un $v = (x, y, z) \in R^{3}$ quelconque,

[f (v)]_{B_{can}} = A [v]_{B_{can}} = (C_{1} L_{1} + \dots + C_{r} L_{r}) x y z = (α_{1} x + β_{1} y + γ_{1} z) C_{1} + \dots + (α_{r} x + β_{r} y + γ_{r} z) C_{r},

que l’on peut écrire

[f (v)]_{B_{can}} = (α_{1} x + β_{1} y + γ_{1} z) [v_{1}]_{B_{can}} + \dots + (α_{r} x + β_{r} y + γ_{r} z) [v_{r}]_{B_{can}} .

Cette dernière signifie simplement que

f (v) = (α_{1} x + β_{1} y + γ_{1} z) v_{1} + \dots + (α_{r} x + β_{r} y + γ_{r} z) v_{r} .

Cette façon de récrire $f$ donne plusieurs informations, à savoir:

L’ensemble image de $f$ est donné par
$Im (f) = Vect {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{r}},$
et les $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{r}$ forment une base de $Im (f)$ .
Le noyau de $f$ est caractérisé comme suit: $v = (x, y, z) \in Ker (f) \Leftrightarrow (*) ⎩ ⎨ ⎧ α_{1} x + β_{1} y + γ_{1} z α_{r} x + β_{r} y + γ_{r} z = ⋮ = 00$

Puisque $f (v)$ est combinaison linéaire des $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{r}$ , cela implique
$Im (f) \subset Vect {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{r}} .$
Mais puisque $Im (f)$ a dimension $r$ , $Vect {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{r}}$ a dimension au moins $r$ ; mais puisque cet ensemble est engendré par $r$ vecteurs, c’est que sa dimension est exactement égale à $r$ .
Soit $S$ l’ensemble de tous les $(x, y, z)$ solutions du système $(*)$ . Remarquons (ça se vérifie au cas par cas, en considérant $r = 0, 1, 2, 3$ ) que la dimension de $S$ est au moins égale à $3 - r$ . Ensuite, on sait que si $v \in S$ , alors $f (v) = (0, 0, 0)$ , et donc $v \in Ker (f)$ , ce qui donne l’inclusion $S \subset Ker (f)$ . Remarquons alors que par le Théorème du rang, $Ker (f)$ a dimension égale à $3 - r$ (car $rg (f) = r$ ). Ceci implique que $S$ a dimension exactement égale à $3 - r$ et de plus que $S = Ker (f)$ .

□

Ces remarques s’appliquent au cas tout à fait général d’une application linéaire $f : R^{n} \to R^{p}$ , de matrice $A$ en base canonique: si $A$ possède une décomposition colonne-ligne minimale donnée par

A = C_{1} L_{1} + C_{2} L_{2} + \dots + C_{r} L_{r},

alors

Les colonnes $C_{1}, \dots, C_{r}$ représentent les composantes (relativement à la base canonique de $R^{p}$ ) de vecteurs $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{r}$ formant une base de $Im (f)$ .
Les lignes $L_{1}, \dots, L_{r}$ fournissent un jeux d’équations (voir $(*)$ ci-dessus) qui caractérisent entièrement $Ker (f)$ .

Exemple 3.22.

Reprenons le cas de l’application

f : R^{3} \to R^{3}

dont la matrice en base canoniques est

A = - 2 11 31 - 4 1 - 3 2 .

Cette fois, travaillons sur les lignes. On remarque que la première ligne

L_{1} = - L_{2} - L_{3}

, et que

L_{2}

L_{3}

ne sont pas proportionnelles. Donc

rg (f) = rg (A) = 2

, et on peut écrire une décomposition minimiale comme suit:

A = - L_{2} - L_{3} L_{2} L_{3} = - L_{2} L_{2} 0 + - L_{3} 0 L_{3} = - 1 10 L_{2} (11 - 3) + - 1 01 L_{3} (1 - 4 2)

On sait donc que pour tout

v = (x, y, z) \in R^{3}

f (v) = (x + y - 3 z) v_{1} (- 1, 1, 0) + (x - 4 y + 2 z) v_{2} (- 1, 0, 1) .

Ainsi,

L’image de $f$ est le plan vectoriel $Im (f) = Vect {v_{1}, v_{2}}$ .
Le noyau de $f$ est la droite vectorielle $Ker (f) = {(x, y, z) : x + y - 3 z x - 4 y + 2 z = = 00} = Vect {(2, 1, 1)}$

Remarque 3.23.

Il est essentiel de noter que la détermination de

Im (f)

Ker (f)

décrite ci-dessus est valide seulement lorsque le point de départ est une décomposition colonne-ligne de

A

est qui est minimale, c’est-à-dire pour laquelle le nombre de termes est égal au rang de

f

!
Pour l’illustrer, prenons la matrice

A

du dernier exemple, et écrivons une décomposition colonne-ligne non-minimale de

A

, par exemple:

A = - 2 11 (100) + 31 - 4 (010) + 1 - 3 2 (001)

Ceci mène à la récriture de

f

f (v) = x v_{1} (- 2, 1, 1) + y v_{2} (3, 1, - 4) + z v_{3} (1, - 3, 2)

Cette représentation ne dit rien sur l’ensemble image et le noyau. En effet,

{v_{1}, v_{2}, v_{3}}

n’est pas une base de

Im (f)

, et le système

(*) ⎩ ⎨ ⎧ x y z = = = 000

dont l’unique solution est

(0, 0, 0)

, ne donne pas le noyau.

Exemple 3.24.

Considérons l’application

f : R^{2} \to R^{3}

dont la matrice en base canonique est

A = 11 - 1 - 2 - 2 2

On voit que les colonnes sont proportionnelles:

C_{2} = - 2 C_{1}

, et donc

rg (f) = rg (A) = 1

, et

A = (C_{1} - 2 C_{1}) = C_{1} (1 - 2) = 11 - 1 (1 - 2)

On sait donc que pour tout

v = (x, y) \in R^{2}

f (x, y) = (x - 2 y) v_{1} (1, 1, - 1)

Ainsi,

L’image de $f$ est la droite vectorielle de $R^{3}$ donnée par $Im (f) = Vect {v_{1}}$ .
Le noyau de $f$ est la droite vectorielle de $R^{2}$ donnée par $Ker (f) = {(x, y) : x - 2 y = 0} = Vect {(2, 1)} .$

Exemple 3.25.

Soit

f : R^{2} \to R^{2}

l’application linéaire dont la matrice en base canonique est donnée par

A = (3002)

Puisque

det (A) = 6 \neq = 0

rg (f) = rg (A) = 2

. Dans ce cas, on peut par exemple prendre comme décomposition minimale:

A = (3000) + (0002) = (30) (10) + (02) (01)

On a donc, pour tout

v = (x, y) \in R^{2}

f (x, y) = x v_{1} (3, 0) + y v_{2} (0, 2)

On voit donc que

L’image de $f$ est $Im (f) = Vect {v_{1}, v_{2}} = R^{2}$ (puisque $v_{1}, v_{2}$ ne sont pas colinéaires).
Le noyau de $f$ est $Ker (f) = {(x, y) : x = 0 et y = 0} = {(0, 0)}$ .

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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