2.2 Droites vectorielles de ℝ²

2.2 Droites vectorielles de $R^{2}$

Les premiers sous-ensembles que nous allons considérer son les droites vectorielles de $R^{2}$ .

Définition 2.3.

Soit

v \in R^{2}

. La partie de $R^{2}$ engendrée par

v

est le sous-ensemble défini par

Vect {v} := {t v : t \in R} \subset R^{2} .

$Vect {v}$ est donc formé de tous les vecteurs colinéaires à $v$ .

Si $v = (0, 0)$ , alors $t v = (0, 0)$ pour tout $t \in R$ , et donc $V$ ne contient qu’un seul point: $Vect {v} = {(0, 0)}$
Si $v \neq = (0, 0)$ , alors les multiples $t v$ sont tous différents, et on appelle $Vect {v}$ la droite vectorielle engendrée par $v$ .

Exemple 2.4.

v = (- 1, 2)

, alors

Vect {v}

est la droite vectorielle engendrée par

v

; celle-ci contient par exemple les points

(- 2, 4), (0, 0), (1, - 2), (3, - 12), \dots

mais elle ne contient par exemple le point

(1, 5)

; en effet, il n’existe aucun réel

t

tel que

(1, 5) = t (- 1, 2)

Dans un repère, $V = Vect {v}$ se visualise alors comme l’ensemble des points sur la droite passant par l’origine du repère et par $v$ .

2.2.1 Bases d’une droite vectorielle $V$ dans $R^{2}$

Définition 2.5.

Soit

V

une droite vectorielle de

R^{2}

. La donnée de n’importe quel vecteur non-nul

w

V

forme une base de

V

, notée

B = {w}

Si $B = {w}$ est une base d’une droite vectorielle $V$ , alors pour tout vecteur $v \in V$ il existe un réel $t$ tel que

v = tw .

On appelle $t$ la composante (ou coordonnée) de $v$ relativement à $B$ , et on écrit

[v]_{B} = t .

2.2.2 Équation cartésienne

Soit $V = Vect {w}$ une droite vectorielle, où on suppose que $w = (α_{1}, α_{2}) \neq = (0, 0)$ .

Si $v = (x, y) \in V$ , cela signifie qu’il existe $t \in R$ tel que $v = tw$ . En d’autres termes, $v$ et $w$ sont proportionnels, ce qui peut s’exprimer comme suit:

x y α_{1} α_{2} = 0 \Leftrightarrow x α_{2} = y α_{1} .

Donc $v = (x, y) \in V$ si et seulement si $x α_{2} = y α_{1}$ . On appelle cette dernière l’équation de $V$ .

Exemple 2.6.

Considérons la droite

V = Vect {w}

, où

w = (3, 1)

. L’équation de

V

est donc donnée par

x = 3 y

Considérons un

v = (x, y) \in V

Puisque $B = {w}$ est une base de $V$ , on peut chercher la composante de $v$ relativement à $B$ ; il s’agit du réel $t$ pour lequel $v = tw$ . Or, en utilisant l’équation de $V$ , on peut écrire
$v = tw \Leftrightarrow (x, y) = t (3, 1) \Leftrightarrow (3 y, y) = t (3, 1) \Leftrightarrow y (3, 1) = t (3, 1) \Leftrightarrow y = t .$
Ainsi, $[v]_{B} = t = y$ , que l’on peut aussi exprimer comme $[v]_{B} = x /3$ .
Considérons maintenant la base $B^{'} = {w^{'}}$ , où $w^{'} = (9, 3)$ . Cette fois, la composante de $v$ relativement à $B^{'}$ est réel $t^{'}$ pour lequel $v = t^{'} w^{'}$ . En utilisant encore l’équation de $V$ ,
$v = t^{'} w^{'} \Leftrightarrow (x, y) = t^{'} (9, 3) \Leftrightarrow y (3, 1) = 3 t^{'} (3, 1) \Leftrightarrow y = 3 t^{'} .$
Ainsi, $[v]_{B} = t^{'} = y /3$ , ou encore $[v]_{B} = x /9$ .

On a donc exprimé un vecteur quelconque

v = (x, y)

dans des bases différentes,

B = {w} B^{'} = {w^{'}} \Rightarrow t = [v]_{B} = y, \Rightarrow t^{'} = [v]_{B^{'}} = y /3 .

Il est intéressant de remarquer que les vecteurs des bases dont reliés par

w^{'} = 3 w,

alors que les composantes de

v

relativement à ces bases sont reliées par

t^{'} = \frac{t}{3} .

Plus généralement, si on considère les composantes d’un vecteur $v = (x, y)$ relativement à des bases $B = {w}$ et $B^{'} = {w^{'}}$ , où

w^{'} = α w,

alors les composantes $t = [v]_{B}$ et $t^{'} = [v]_{B^{'}}$ sont reliées par

t^{'} = \frac{1}{α} t .

Ainsi, la relation existant entre les composantes semble être l’inverse de celle existant entre les vecteurs des bases.

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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2.2 Droites vectorielles de R2

2.2.1 Bases d’une droite vectorielle V dans R2

2.2.2 Équation cartésienne

2.2 Droites vectorielles de $R^{2}$

2.2.1 Bases d’une droite vectorielle $V$ dans $R^{2}$