Formules (méthodes) de quadrature

Dans une méthode d’intégration composite, on applique une formule de quadrature à un sous-intervalle $[x_{i}, x_{i + 1}]$ a priori quelconque. Pour pouvoir étudier et comparer les différentes formules de quadrature dans le cadre d’un formalisme général, nous allons remplacer $[x_{i}, x_{i + 1}]$ par l’intervalle “standard” (“canonique”) $[- 1, + 1]$ . Pour ce faire, nous allons effectuer le changement de variable $x \in [x_{i}, x_{i + 1}] \to t \in [- 1, + 1]$ :

t = 2 \frac{x - x _{i}}{x _{i + 1} - x _{i}} - 1 \leftrightarrow x = \frac{x _{i} + x _{i + 1}}{2} + \frac{x _{i + 1} - x _{i}}{2} t .

On note ainsi en particulier que $x = x_{i} \leftrightarrow t = - 1$ et $x = x_{i + 1} \leftrightarrow t = + 1$ . Ainsi, l’intégrale définie de $f (x)$ sur $[x_{i}, x_{i + 1}]$ peut alors s’écrire

\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x = \equiv \int_{- 1}^{+ 1} f (\frac{x _{i} + x _{i + 1}}{2} + \frac{x _{i + 1} - x _{i}}{2} t) \frac{x _{i + 1} - x _{i}}{2} d t \frac{x _{i + 1} - x _{i}}{2} \int_{- 1}^{+ 1} g_{i} (t) d t,

où l’on a utilisé le lien entre $d x$ et $d t$ donné par le changement de variable,

d x = \frac{x _{i + 1} - x _{i}}{2} d t,

et introduit la fonction

g_{i} (t) = f (\frac{x _{i} + x _{i + 1}}{2} + \frac{x _{i + 1} - x _{i}}{2} t)

qui est une fonction continue définie sur l’intervalle $[- 1, + 1]$ .

Définition 1.1. Soit

g

une fonction continue sur l’intervalle

[- 1, + 1]

, la formule de quadrature

J (g) = j = 1 \sum M w_{j} g (t_{j}),

est une approximation de

\int_{- 1}^{+ 1} g (t) d t

dans laquelle interviennent

$M$ points $t_{j}$ , $- 1 \leq t_{1} < t_{2} < \dots < t_{M} \leq + 1$ qui sont appelés les points (ou noeuds) d’intégration;
$M$ nombres $w_{j}$ qui sont les poids de la formule de quadrature associés à chaque point $t_{j}$ .

Définition 1.2. Une formule de quadrature

J

telle que celle définie ci-dessus est dite exacte pour les polynômes de degré

r \geq 0

J (p) = \int_{- 1}^{+ 1} p (t) d t

pour tout polynôme

p

de degré inférieur ou égal à

r

Nous allons commencer par indiquer trois exemples de formules de quadrature de la forme

J (g) = j = 1 \sum M w_{j} g (t_{j})

avant de chercher à déterminer au mieux les $M$ noeuds $t_{j}$ et les $M$ poids $w_{j}$ associés.

Exemple 1.3 (1 noeud). La formule du point milieu (PM) correspond à une méthode à 1 point (

M = 1

), le point (noeud) étant choisi au milieu de

[- 1, + 1]

t_{1} = 0

. En reprenant les notations ci-dessus, il vient

J^{PM} (g) = j = 1 \sum M = 1 w_{j} g (t_{j}) = w_{1} g (t_{1}) = w_{1} g (0) = “base" 2 \cdot “hauteur" g (0) .

On constate que

w_{1} = 2

.En revenant à la fonction

f

et à l’intervalle de départ

[x_{i}, x_{i + 1}]

, l’approximation cherchée de

\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x

est

J_{i}^{PM} (f) = \frac{x _{i + 1} - x _{i}}{2} \cdot 2 \cdot f (\frac{x _{i} + x _{i + 1}}{2}) = (x_{i + 1} - x_{i}) \cdot f (\frac{x _{i} + x _{i + 1}}{2}) .

En guise d’exemple concret, prenons

f (x) = x^{2}

que l’on cherche à intégrer sur

[x_{i + 1}, x_{i}] = [1, 2]

. On a alors

g_{i} (t) = (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} t)^{2}

\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x = \int_{1}^{2} x^{2} d x = \frac{x _{i + 1} - x _{i}}{2} \int_{- 1}^{+ 1} g_{i} (t) d t = \frac{1}{2} approxim \overset{e}{ˊ} par J^{PM} (g_{i}) \int_{- 1}^{+ 1} (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} t)^{2} d t .

Comme $J^{PM} (g_{i}) = 2 \cdot g_{i} (0)$ , l’approximation cherchée est donnée par $J_{i}^{PM} (f) = \frac{1}{2} 2 g_{i} (0) = g_{i} (0) = \frac{9}{4}$ .

Exemple 1.4 (2 noeuds). La formule du trapèze (TR) correspond à une méthode à 2 points (

M = 2

), les deux points (noeuds) étant choisis au début et à la fin de

[- 1, + 1]

t_{1} = - 1

t_{2} = + 1

. Ainsi,

J^{TR} (g) = = j = 1 \sum M = 2 w_{j} g (t_{j}) = w_{1} g (- 1) + w_{2} g (+ 1) “base" 2 \cdot “hauteur moyenne" \frac{g ( - 1 ) + g ( + 1 )}{2} = g (- 1) + g (+ 1) .

On constate que

w_{1} = 1 = w_{2}

. En revenant à la fonction

f

et à l’intervalle de départ

[x_{i}, x_{i + 1}]

, l’approximation cherchée de

\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x

est

J_{i}^{TR} (f) = (x_{i + 1} - x_{i}) \frac{f ( x _{i} ) + f ( x _{i + 1} )}{2} .

Cas concret discuté plus haut :

Exemple 1.5 (3 noeuds). La formule dite de Simpson (S) correspond à une méthode à 3 points (

M = 3

), les trois points (noeuds) étant choisis au début, au milieu et à la fin de

[- 1, + 1]

t_{1} = - 1

t_{2} = 0

t_{3} = + 1

. Ainsi,

J^{S} (g) = j = 1 \sum M = 3 w_{j} g (t_{j}) = w_{1} g (- 1) + w_{2} g (0) + w_{3} g (+ 1) .

En exercices et plus loin, nous verrons que l’approximation numérique peut être optimisée en choisissant les poids suivants :

w_{1} = \frac{1}{3}, w_{2} = \frac{4}{3} et w_{3} = \frac{1}{3} .

En revenant à la fonction

f

et à l’intervalle de départ

[x_{i}, x_{i + 1}]

, l’approximation cherchée de

\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x

est

J_{i}^{S} (f) = (x_{i + 1} - x_{i}) (\frac{1}{6} f (x_{i}) + \frac{4}{6} f (\frac{x _{i + 1} + x _{i}}{2}) + \frac{1}{6} f (x_{i + 1})) .

Cas concret discuté plus haut :

L’intégration numérique par la méthode de Simpson est, pour ce cas concret, exacte. En supposant avoir choisi les

M

noeuds (points)

t_{j}

, on peut se demander comment déterminer les

M

poids

w_{j}

associés pour approximer au mieux

\int_{- 1}^{+ 1} g (t) d t

Théorème 1.6. Soient $t_{1} < t_{2} < \dots < t_{M}$ , $M$ points distincts de l’intervalle canonique $[- 1, 1]$ , et soit $φ_{1}$ , $φ_{2}$ , $\dots$ , $φ_{M}$ la base de Lagrange de $P_{M - 1}$ associée à ces $M$ points. Alors, la formule de quadrature $J (g) = j = 1 \sum M w_{j} g (t_{j})$ est exacte pour les polynômes de degré $M - 1$ au moins si et seulement si $w_{j} = \int_{- 1}^{+ 1} φ_{j} (t) d t, o \overset{u}{ˋ} j = 1, 2, \dots, M .$

Sens

\Rightarrow

En supposant la formule exacte, il vient :

J (p) = j = 1 \sum M w_{j} p (t_{j}) = \int_{- 1}^{+ 1} p (t) d t, \forall p \in P_{M - 1} .

Ainsi, cette relation doit être en particulier vraie pour

p = φ_{k}

, avec

k = 1, 2, \dots, M

. Par conséquent,

J (φ_{k}) = = w_{k} \cdot 1 = w_{k} j = 1 \sum M w_{j} φ_{k} (t_{j}) = \int_{- 1}^{+ 1} φ_{k} (t) d t .

□

Sens

\Leftarrow

Soit

p \in P_{M - 1}

p

quelconque. On peut écrire le développement de

p

dans la base de Lagrange associée aux points

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{M}

p (t) = j = 1 \sum M p (t_{j}) φ_{j} (t) .

Il vient alors

\int_{- 1}^{+ 1} p (t) d t = j = 1 \sum M p (t_{j}) = w_{j} (par hyp.) \int_{- 1}^{+ 1} φ_{j} (t) d t = j = 1 \sum M p (t_{j}) w_{j} = J (p) .

□

Remarque 1.7. Notons tout d’abord que

\sum_{j = 1}^{M} 1 \cdot φ_{j} (t)

est le polynôme

p \in P_{M - 1}

qui vaut

1

aux points

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{M}

. Il s’agit de la fonction constante égale à

1

. On peut alors faire une observation intéressante :

j = 1 \sum M w_{j} = j = 1 \sum M \int_{- 1}^{+ 1} φ_{j} (t) d t = \int_{- 1}^{+ 1} (= 1 j = 1 \sum M φ_{j} (t)) d t = \int_{- 1}^{+ 1} 1 \cdot d t = 2 .

On constate que la somme des poids est toujours égale à

2

. C’est ce que l’on peut vérifier dans le cas des trois exemples donnés plus haut dans cette section.

Polycopié rédigé par Roger Sauser, CMS. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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