7.5 Tableau de Butcher

Dans le cas d’une partition régulière de pas $h$ , une méthode de Runge-Kutta (à un pas, explicite ou implicite) correspond à un schéma général de la forme :

u_{n + 1} = u_{n} + h i = 1 \sum s b_{i} K_{i},

où

$s$ est le nombre d’étapes de la méthode,
les $s$ “pentes” $K_{i}$ , $i = 1, 2, \dots s$ , sont données par $K_{i} = f (t_{n} + c_{i} h, u_{n} + h j = 1 \sum s a_{ij} K_{j}) .$

Les coefficients $b_{i}$ , $a_{ij}$ et $c_{i}$ sont souvent donnés dans un tableau de Butcher de la forme :

Ainsi, ce tableau s’écrit pour le schéma RK4 :

Pour rappel, dans le schéma RK4, les quatre pentes suivantes interviennent :

K_{1} K_{2} K_{3} K_{4} = f (t_{n}, u_{n}) \leftarrow (point de gauche) = f (t_{n} + \frac{h}{2}, u_{n} + \frac{h}{2} K_{1}) \leftarrow (pr \overset{e}{ˊ} diction \overset{a}{ˋ} l’aide d’Euler progressive) = f (t_{n} + \frac{h}{2}, u_{n} + \frac{h}{2} K_{2}) \leftarrow (pr \overset{e}{ˊ} diction \overset{a}{ˋ} l’aide de K_{2}) = f (t_{n + 1}, u_{n} + h K_{3}) \leftarrow (pr \overset{e}{ˊ} diction \overset{a}{ˋ} l’aide de K_{3})

et la résolution numérique fait intervenir

{u_{n + 1} u_{0} = = u_{n} + \frac{h}{6} (K_{1} + 2 K_{2} + 2 K_{3} + K_{4}), y_{0} .

Polycopié rédigé par Roger Sauser, CMS. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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