Méthode de point fixe

Transformation de l’équation non linéaire

Pour une fonction

f : [a, b] \to R

, il est toujours possible de transformer l’équation non linéaire à résoudre,

f (x) = 0,

en une équation équivalente ayant les mêmes solutions :

x - Φ (x) = 0,

où $Φ (x)$ est une fonction auxiliaire $Φ : [a, b] \to R$ choisie telle que

f (α) = 0 \Rightarrow α = Φ (α) .

La recherche des zéros de $f$ se ramène donc à la recherche des points fixes de $Φ$ .

Définition 1.1. Si

β \in R

est tel que

Φ (β) = β

, on dit que

β

est un point fixe de

Φ

. Autrement dit, l’image de

β

par

Φ

est

β

lui-même.

Remarque 1.2. Pour une fonction

f

donnée, le choix de la fonction auxiliaire

Φ

n’est pas unique. Par exemple, on peut choisir

Φ (x) = x + λ f (x), o \overset{u}{ˋ} λ \in R .

En effet, pour cet ensemble de fonctions auxiliaires, on a

f (α) = 0 \Rightarrow Φ (α) = α + λ = 0 f (α) = α .

□

En fait, toute fonction auxiliaire

Φ

de la forme

Φ (x) = x + F (f (x)),

où

F

est une fonction continue telle que

F (0) = 0

, est une fonction auxiliaire possible.

En effet, pour cet ensemble de fonctions auxiliaires, on a

f (α) = 0 \Rightarrow Φ (α) = α + F (= 0 f (α)) = α + = 0 F (0) = α .

□

En guise d’exemple, nous allons transformer le problème de Kepler. Il est par exemple possible de choisir

Φ (E) = E - 5 f (E) .

La racine de

f

et le point fixe de

Φ

sont bien identiques.

Méthode de point fixe

Graphiquement, la recherche des points fixes de

Φ

consiste à trouver la (ou les) intersection(s) entre la droite

y (x) = x

et la fonction

y (x) = Φ (x)

. Dans la méthode de point fixe, le processus itératif revient à poser, étant donné un “bon”

x_{0}

x_{k + 1} = Φ (x_{k}), \forall k \geq 0 .

Cette relation est une itération de point fixe appelée parfois itération de Picard, et $Φ$ est connue sous le nom de fonction d’itération. Premières étapes de la méthode pour la fonction d’itération $Φ (x) = cos (x)$ :

x_{0} = x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4} = x_{5} = ⋮ x_{20} = ⋮ x_{40} = 1.2 (choix du point de d \overset{e}{ˊ} part de la m \overset{e}{ˊ} thode) cos (x_{0}) = cos (1.2) ≅ 0.3624 cos (x_{1}) ≅ cos (0.3624) ≅ 0.9351 cos (x_{2}) ≅ cos (0.9351) ≅ 0.5938 cos (x_{3}) ≅ cos (0.5938) ≅ 0.8288 cos (x_{4}) ≅ cos (0.8288) ≅ 0.6757 cos (x_{19}) ≅ cos (0.7388) ≅ 0.7393 cos (x_{39}) ≅ cos (0.7391) ≅ 0.7391

Les toutes premières étapes sont représentées graphiquement ci-dessous :

Remarque 1.1. Comme le montrent certains des quatre exemples ci-dessous, la convergence de la méthode de point fixe n’est pas assurée. Elle dépend du choix de

Φ

et de

x_{0}

. Application de la méthode de point fixe sur les fonctions

f (x) = 1 - sin (x),

g (x) = exp (- 4 x),

h (x) = 0.4 exp (x) - 0.25

i (x) = \frac{1}{1 + ( \frac{1 - x}{x} ) ^{2}},

dans l’intervalle

] 0, 1 [

Existence d’un point fixe

Théorème 1.1. (existence d’un point fixe) Soit $Φ \in C^{0} ([a, b])$ , si $\forall x \in [a, b]$ , $Φ (x) \in [a, b]$ , Alors, $Φ$ admet au moins un point fixe $α \in [a, b]$ .

Nous allons considérer la fonction auxiliaire continue

d : [a, b] \to R

définie par

d (x) = Φ (x) - x

, et nous intéresser au produit

d (a) \cdot d (b)

d (a) \cdot d (b) = \geq 0 (Φ (a) - a) \cdot \leq 0 (Φ (b) - b) \leq 0 .

Par le théorème de Bolzano, il existe au moins un

α \in [a, b]

tel que

d (α) = 0

Φ (α) = α

□

Fonction contractante

Définition 1.1. Une fonction

Φ

est dite contractante (ou $K$ -contractante) sur un intervalle

I \subset R

s’il existe un nombre réel

K

0 < K < 1

, tel que

\forall x, y \in I

∣Φ (x) - Φ (y) ∣ \leq K ∣ x - y ∣ .

Remarquons qu’en exploitant le théorème des accroissements finis (formule de Taylor au premier ordre), il vient, en supposant $Φ \in C^{1} (I)$ ,

∣Φ (x) - Φ (y) ∣ = ∣ Φ^{'} (ξ) ∣∣ x - y ∣,

avec $ξ$ entre $x$ et $y$ . Par conséquent, on en déduit que si $∣ Φ^{'} (x) ∣ < 1$ , $\forall x \in I$ , la fonction est $K$ -contractante sur $I$ .

Convergence des itérations de point fixe

Les résultats suivants précisent les conditions qui doivent être satisfaites pour que la méthode de point fixe converge.

Théorème 1.1. Si la suite ${x_{k}}$ définie par la méthode de point fixe converge vers $x$ et si $Φ$ est continue, alors $x$ est un point fixe de $Φ$ .

x = k \to \infty lim x_{k + 1} = k \to \infty lim Φ (x_{k}) = Φ (k \to \infty lim x_{k}) = Φ (x) .

On utilise successivement le fait que la suite converge, que

x_{k + 1}

résulte d’une itération de point fixe, que

Φ

est continue, et (encore une fois) que la suite converge.

□

Théorème 1.2. (théorème d’Ostrowski) Soit $α$ un point fixe d’une fonction $Φ \in C^{1} (J)$ , où $J$ est un voisinage de $α$ . Si $∣ Φ^{'} (α) ∣ < 1$ , alors il existe $δ > 0$ pour lequel la suite ${x_{k}}$ converge vers $α$ , pour tout $x_{0}$ tel que $∣ x_{0} - α ∣ < δ$ .

Théorème 1.3. Soient $x_{0}$ et la suite $x_{k + 1} = Φ (x_{k})$ , $\forall k \geq 0$ . Si i) $\forall x \in [a, b]$ , $Φ (x) \in [a, b]$ , ii) $Φ \in C^{1} ([a, b])$ , iii) $\exists K < 1 tel que ∣ Φ^{'} (x) ∣ < K \forall x \in [a, b],$ Alors $Φ$ a un unique point fixe $α$ dans $[a, b]$ et la suite ${x_{k}}$ converge vers $α$ pour tout choix de $x_{0} \in [a, b]$ . De plus, on a $k \to \infty lim \frac{x _{k + 1} - α}{x _{k} - α} = Φ^{'} (α) .$ C’est un résultat de convergence globale : la suite converge vers $α$ avec un ordre 1 pour tout $x_{0} \in [a, b]$ .

Comme la fonction d’itération est continue et vérifie l’hypothèse i), cette dernière admet au moins un point fixe dans

[a, b]

(voir la sous-section précédente). Pour montrer l’unicité du point fixe, on va supposer qu’il existe deux valeurs

α_{1}

α_{2}

dans

[a, b]

qui vérifient

Φ (α_{1}) = α_{1}

Φ (α_{2}) = α_{2}

. La formule de Taylor à l’ordre 0 (c’est-à-dire le théorème des accroissements finis) et l’hypothèse de contraction iii) permettent alors d’écrire

∣ α_{2} - α_{1} ∣ = ∣Φ (α_{2}) - Φ (α_{1}) ∣ = ∣ Φ^{'} (ξ) (α_{2} - α_{1}) ∣ \leq K ∣ α_{2} - α_{1} ∣ < ∣ α_{2} - α_{1} ∣,

où

ξ \in] α_{1}, α_{2} [.

On conclut que

α_{1} = α_{2}

. L’étude de la convergence de la suite

{x_{k}}

peut également se faire à partir de la formule de Taylor. En effet,

\forall k \geq 0

, on peut écrire

x_{k + 1} - α = Φ (x_{k}) - Φ (α) = Φ^{'} (ξ_{k}) (x_{k} - α),

avec

ξ_{k}

compris entre

x_{k}

α

. Il vient ainsi,

∣ x_{k + 1} - α ∣ = ∣ Φ^{'} (ξ_{k}) ∣∣ x_{k} - α ∣ \leq K ∣ x_{k} - α ∣ \leq K^{k + 1} ∣ x_{0} - α ∣ .

Or,

lim_{k \to \infty} K^{k + 1} ∣ x_{0} - α ∣ = 0

et on conclut que

x_{k}

converge vers

α

. En reprenant l’égalité

x_{k + 1} - α = Φ^{'} (ξ_{k}) (x_{k} - α)

à la lumière de cette convergence, on termine la preuve :

k \to \infty lim \frac{x _{k + 1} - α}{x _{k} - α} = k \to \infty lim Φ^{'} (ξ_{k}) = Φ^{'} (α) .

□

Convergence de la méthode de Newton

La méthode de Newton,

x_{k + 1} = x_{k} - \frac{f ( x _{k} )}{f ^{'} ( x _{k} )} \equiv Φ_{N} (x_{k}),

est une méthode de point fixe ayant pour fonction d’itération la fonction

Φ_{N} (x) = x - \frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} .

On note que la dérivée de cette fonction d’itération s’annule au point correspondant à la racine $α$ de $f$ : $Φ_{N}^{'} (α) = 0$ . En effet,

Φ_{N}^{'} (x) = 1 - (f (x) f^{'} (x)^{- 1})^{'} = 1 - \frac{f ^{'} ( x )}{f ^{'} ( x )} + \frac{f ( x ) f ^{''} ( x )}{( f ^{'} ( x ) ) ^{2}} = \frac{f ( x ) f ^{''} ( x )}{( f ^{'} ( x ) ) ^{2}},

et on a donc $Φ_{N}^{'} (α) = 0$ car $f (α) = 0$ et $f^{'} (α) \neq = 0$ . Ainsi, $∣ Φ_{N}^{'} (α) ∣ < 1$ , et la méthode converge. De plus, en utilisant la formule de Taylor à l’ordre $1$ au voisinage de $α$ , il vient

x_{k + 1} - α = = Φ_{N} (x_{k}) - Φ_{N} (α) [Φ_{N} (α) + Φ_{N}^{'} (α) (x_{k} - α) + \frac{Φ _{N}^{''} ( ξ ) ( x _{k} - α ) ^{2}}{2 !}] - Φ_{N} (α) .

Comme $Φ_{N}^{'} (α) = 0$ , on obtient finalement

x_{k + 1} - α = Φ_{N} (x_{k}) - Φ_{N} (α) = \frac{Φ _{N}^{''} ( ξ ) ( x _{k} - α ) ^{2}}{2 !} .

Ainsi,

∣ x_{k + 1} - α ∣ \leq C ∣ x_{k} - α ∣^{2},

où

C = voisinage de α max \frac{Φ _{N}^{''} ( x )}{2} .

La convergence de la méthode de Newton est donc bien quadratique ( $p = 2$ ).

Polycopié rédigé par Roger Sauser, CMS. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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