6.2 Interpolation par un polynôme

Dans cette section, nous allons chercher à interpoler une fonction $f$ à l’aide d’un polynôme $p$ de degré $n$ . Plus précisément, nous allons déterminer un polynôme d’interpolation $p \in P_{n}$ ( $P_{n}$ étant l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ ) passant par $(n + 1)$ points $P_{i} = (x_{i}, p_{i})$ , $i = 0, 1, 2, \dots, n$ , avec $p_{i} = p (x_{i}) \equiv f (x_{i})$ .

Dans le cas de deux points, le polynôme d’interpolation correspond à l’unique droite passant par les deux points. Dans le cas de trois points, le polynôme d’interpolation correspond à l’unique parabole passant par les trois points.

Ces deux résultats peuvent être généralisés : il existe un seul polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ passant par $(n + 1)$ points donnés.

Supposons qu’il y ait deux polynômes

p_{1}

p_{2}

(de degré inférieur ou égal à

n

) passant par les

(n + 1)

points donnés. On remarque que le polynôme

p_{3} = p_{2} - p_{1}

est donc de degré inférieur ou égal à

n

et possède

(n + 1)

zéros distincts

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}

. Or, un polynôme (non nul) de degré inférieur ou égal à

n

possède au plus

n

racines distinctes. On conclut que

p_{3}

est le polynôme constant nul et par suite que

p_{1} = p_{2}

□

Nous allons essayer de trouver ce polynôme d’interpolation en le construisant à partir d’une base de fonctions polynomiales.

Commençons par chercher le polynôme passant par $n$ points d’ordonnées $p_{j}$ égales à zéro, et un point d’ordonnée $p_{k}$ non nulle. En posant la valeur de $p_{k}$ égale à $1$ , il est facile de se convaincre que le polynôme de degré $n$ $φ_{k} (x)$ suivant vérifie $p_{i} = φ_{k} (x_{i})$ dans le cas de ces $(n + 1)$ points particuliers :

φ_{k} (x) = = \frac{( x - x _{0} ) ( x - x _{1} ) \dots ( x - x _{k - 1} ) ( x - x _{k + 1} ) \dots ( x - x _{n} )}{( x _{k} - x _{0} ) ( x _{k} - x _{1} ) \dots ( x _{k} - x _{k - 1} ) ( x _{k} - x _{k + 1} ) \dots ( x _{k} - x _{n} )} Π_{j = 0, j \neq = k}^{n} \frac{x - x _{j}}{x _{k} - x _{j}} .

On note que le numérateur de chacun des polynômes $φ_{k} (x)$ est un produit de $n$ termes $(x - x_{j})$ . Il s’agit donc d’un polynôme de degré $n$ . Le dénominateur est quant à lui une constante. Ainsi, on a bien que

$φ_{k} (x)$ est un polynôme de degré $n$ ;
$φ_{k} (x_{k}) = 1$ et $φ_{k} (x_{j}) = 0$ pour $j \neq = k$ , $0 \leq j \leq n$ .

On montre ci-dessous que les polynômes $φ_{0}$ , $φ_{1}$ , $\dots$ , $φ_{n}$ ainsi définis sont linéairement indépendants et forment une base de $P_{n}$ appelée base de Lagrange associée aux abscisses (noeuds) $x_{0}$ , $x_{1}$ , $\dots$ , $x_{n}$ . Ainsi, l’unique polynôme $p$ cherché vérifiant $p_{i} = p (x_{i})$ , $\forall i$ , $i = 0, 1, \dots, n$ , est donné, dans la forme de Lagrange, par

p (x) = p_{0} φ_{0} (x) + p_{1} φ_{1} (x) + \dots + p_{n} φ_{n} (x) = i = 0 \sum n p_{i} φ_{i} (x) .

Ce polynôme est le polynôme d’interpolation associé aux points $P_{i} = (x_{i}, p_{i})$ , $0 \leq i \leq n$ .

Théorème 6.4. Les polynômes

φ_{0}

φ_{1}

\dots

φ_{n}

sont a) linéairement indépendants et b) forment une base de

P_{n}

a)
Commençons par montrer que les polynômes

φ_{i}

sont linéairement indépendants. Imaginons que

α_{0}

α_{1}

\dots

α_{n}

sont

(n + 1)

nombres réels tels que

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} φ_{i} (x) = 0

\forall x \in R

.

Alors, pour

x = x_{k}

, on obtient

0 = i = 0 \sum n α_{i} φ_{i} (x_{k}) = α_{k} \cdot 1 = α_{k} .

Par conséquent, tous les

α_{k}

, où

k = 0, 1, \dots, n

sont identiquement nuls. La famille de polynômes

{φ_{0}

φ_{1}

\dots

φ_{n}}

est donc linéairement indépendante (ou libre).

□

b)
Montrons maintenant que les polynômes

φ_{i}

forment une base de

P_{n}

. L’espace

P_{n}

est un espace vectoriel de dimension

(n + 1)

et sa base canonique est

1

x

x^{2}

\dots

x^{n}

. Comme les

(n + 1)

φ_{i}

sont des polynômes de degré

n

linéairement indépendants, ils forment bien une base de

P_{n}

: c’est la base de Lagrange associée aux noeuds

x_{0}

x_{1}

\dots

x_{n}

□

Le polynôme

p (x) = i = 0 \sum n p_{i} φ_{i} (x)

vérifie alors bien

$p \in P_{n}$ ;
$p (x_{k}) = \sum_{i = 0}^{n} p_{i} φ_{i} (x_{k}) = p_{k} \cdot 1 = p_{k} .$

Exemple 6.5. Construisons le polynôme d’interpolation passant par les deux points

P_{0} = (x_{0} = 1, p_{0} = 4)

P_{1} = (x_{1} = 4, p_{1} = 7)

. Pour ce faire, on écrit les deux polynômes constituant la base de Lagrange de

P_{1}

φ_{0} (x) = \frac{x - x _{1}}{x _{0} - x _{1}} = \frac{x - 4}{1 - 4} = \frac{4}{3} - \frac{x}{3}

φ_{1} (x) = \frac{x - x _{0}}{x _{1} - x _{0}} = \frac{x - 1}{4 - 1} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} .

Le polynôme cherché est alors

p (x) = p_{0} φ_{0} (x) + p_{1} φ_{1} (x) = 4 \cdot (\frac{4}{3} - \frac{x}{3}) + 7 \cdot (\frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{16}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{7 x}{3} - \frac{7}{3} = x + 3 .

Ce polynôme

p (x)

est effectivement le seul polynôme de degré

1

(droite) passant par les deux points

P_{0}

P_{1}

Polycopié rédigé par Roger Sauser, CMS. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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