Dans cette section, nous allons chercher à interpoler une fonction $f$ à l’aide d’un polynôme $p$ de degré $n$. Plus précisément, nous allons déterminer un polynôme d’interpolation $p\in {\mathbb{P}}_n$ (${\mathbb{P}}_n$ étant l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$) passant par $(n+1)$ points $P_i=(x_i,p_i)$, $i=0,1,2,\dots ,n$, avec $p_i=p(x_i)\equiv f(x_i)$.

Dans le cas de deux points, le polynôme d’interpolation correspond à l’unique droite passant par les deux points. Dans le cas de trois points, le polynôme d’interpolation correspond à l’unique parabole passant par les trois points. Ces deux résultats peuvent être généralisés : il existe un seul polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ passant par $(n+1)$ points donnés.

Nous allons essayer de trouver ce polynôme d’interpolation en le construisant à partir d’une base de fonctions polynomiales. Commençons par chercher le polynôme passant par $n$ points d’ordonnées $p_j$ égales à zéro, et un point d’ordonnée $p_k$ non nulle. En posant la valeur de $p_k$ égale à $1$, il est facile de se convaincre que le polynôme de degré $n$ ${\phi }_k(x)$ suivant vérifie $p_i={\phi }_k(x_i)$ dans le cas de ces $(n+1)$ points particuliers :

$$\begin{array}{rl}{\phi }_k(x)=& \frac{(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\dots (x-x_n)}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)\dots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\dots (x_k-x_n)}\\ =& {\Pi }_{j=0,j\ne k}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j}.\end{array}$$

On note que le numérateur de chacun des polynômes ${\phi }_k(x)$ est un produit de $n$ termes $(x-x_j)$. Il s’agit donc d’un polynôme de degré $n$. Le dénominateur est quant à lui une constante. Ainsi, on a bien que

• ${\phi }_k(x)$ est un polynôme de degré $n$ ;
• ${\phi }_k(x_k)=1$ et ${\phi }_k(x_j)=0$ pour $j\ne k$, $0\le j\le n$.

On montre ci-dessous que les polynômes ${\phi }_0$, ${\phi }_1$, $\dots$, ${\phi }_n$ ainsi définis sont linéairement indépendants et forment une base de ${\mathbb{P}}_n$ appelée base de Lagrange associée aux abscisses (noeuds) $x_0$, $x_1$, $\dots$, $x_n$. Ainsi, l’unique polynôme $p$ cherché vérifiant $p_i=p(x_i)$, $\forall i$, $i=0,1,\dots ,n$, est donné, dans la forme de Lagrange, par

$$p(x)=p_0{\phi }_0(x)+p_1{\phi }_1(x)+\cdots +p_n{\phi }_n(x)=\sum _{i=0}^n{p}_i{\phi }_i(x).$$

Ce polynôme est le polynôme d’interpolation associé aux points $P_i=(x_i,p_i)$, $0\le i\le n$.

Le polynôme

$$p(x)=\sum _{i=0}^n{p}_i{\phi }_i(x)$$

vérifie alors bien

• $p\in {\mathbb{P}}_n$ ;
• $p(x_k)={\sum }_{i=0}^n{p}_i{\phi }_i(x_k)=p_k\cdot 1=p_k.$