Représentation d'une courbe paramétrée

Représentation d’une courbe paramétrée

Représentation en 2D

En deux dimensions, une courbe paramétrée par le paramètre

t

est donnée par

r (t) = x (t) e_{x} + y (t) e_{y}

, où les vecteurs

e_{x}

e_{y}

sont des vecteurs unitaires dans les directions

x

y

, respectivement. En guise d’exemple, nous allons considérer une courbe appelée trochoïde définie par :

{x (t) y (t) = = R t - d sin t, R - d cos t .

Remarque 1.1. La cycloïde est un cas particulier de cette courbe que l’on obtient en posant

d = R

. Si vous vous intéressez aux courbes mathématiques en deux et trois dimensions, ne manquez pas de visiter le site suivant : https://mathcurve.com/.

Les coordonnées du vecteur position

r (t)

peuvent être définies de la manière suivante :

python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
R = 3
d = 4
t = np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi,1000)
courbe_x = R*t - d*np.sin(t)
courbe_y = R - d*np.cos(t)

Après avoir créé les axes, on peut afficher la courbe :

python

fig = plt.figure(1) 
ax = fig.gca()
ax.plot(courbe_x, courbe_y, linewidth=2)
plt.axis('scaled')
plt.show()

Remarque 1.2. On pourrait ici également simplement utiliser le code suivant :

python

plt.plot(courbe_x, courbe_y, linewidth=2)
plt.axis('scaled')
plt.show()

Cas particulier de la cycloïde :

Représentation en 3D

En trois dimensions, une courbe paramétrée par le paramètre

t

est donnée par :

r (t) = x (t) e_{x} + y (t) e_{y} + z (t) e_{z},

où les vecteurs

e_{x}

e_{y}

e_{z}

dénotent les vecteurs unitaires dans les directions

x

y

, et

z

, respectivement. Après le préambule habituel,

python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

les coordonnées du vecteur position

r (t)

peuvent être définies de la manière suivante (cas d’une courbe appelée “courbe de Viviani”) :

python

a = 1
t = np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi,100)
courbe_x = a + a*np.cos(t) 
courbe_y = a*np.sin(t)
courbe_z = 2*a*np.sin(t/2)

Il est alors possible d’afficher la courbe en prenant soin de faire tourner quelque peu les graduations des axes

x

y

pour améliorer la lisibilité de la figure :

python

fig = plt.figure(1) 
ax = plt.axes(projection='3d')
#ax = fig.add_subplot(projection='3d') # Variante
plt.setp(ax.get_xticklabels(), rotation=45)
plt.setp(ax.get_yticklabels(), rotation=-20)
ax.plot(courbe_x, courbe_y, courbe_z, linewidth=2)
ax.set_title('Représentation de la "courbe de Viviani"')
plt.show()

Remarque 1.1. La courbe de Viviani (appelée aussi “fenêtre de Viviani”) est définie comme l’intersection d’une sphère et d’un cylindre qui est tangent à la sphère et passe par le centre de cette dernière :

Polycopié rédigé par Roger Sauser, CMS. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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