5.4.1 Représentation en 2D

En deux dimensions, une courbe paramétrée par le paramètre $t$ est donnée par $\vec{r}(t)=x(t){\vec{e}}_x+y(t){\vec{e}}_y$, où les vecteurs ${\vec{e}}_x$ et ${\vec{e}}_y$ sont des vecteurs unitaires dans les directions $x$ et $y$, respectivement.

En guise d’exemple, nous allons considérer une courbe appelée trochoïde définie par :

Les coordonnées du vecteur position $\vec{r}(t)$ peuvent être définies de la manière suivante :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
R = 3
d = 4
t = np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi,1000)
courbe_x = R*t - d*np.sin(t)
courbe_y = R - d*np.cos(t)

Après avoir créé les axes, on peut afficher la courbe :

fig = plt.figure(1) 
ax = fig.gca()
ax.plot(courbe_x, courbe_y, linewidth=2)
plt.axis('scaled')
plt.show()

plt.plot(courbe_x, courbe_y, linewidth=2)
plt.axis('scaled')
plt.show()

Cas particulier de la cycloïde :

5.4.2 Représentation en 3D

En trois dimensions, une courbe paramétrée par le paramètre $t$ est donnée par :

où les vecteurs ${\vec{e}}_x$, ${\vec{e}}_y$ et ${\vec{e}}_z$ dénotent les vecteurs unitaires dans les directions $x$, $y$, et $z$, respectivement.

Après le préambule habituel,

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

les coordonnées du vecteur position $\vec{r}(t)$ peuvent être définies de la manière suivante (cas d’une courbe appelée “courbe de Viviani”) :

a = 1
t = np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi,100)
courbe_x = a + a*np.cos(t) 
courbe_y = a*np.sin(t)
courbe_z = 2*a*np.sin(t/2)

Il est alors possible d’afficher la courbe en prenant soin de faire tourner quelque peu les graduations des axes $x$ et $y$ pour améliorer la lisibilité de la figure :

fig = plt.figure(1) 
ax = plt.axes(projection='3d')
#ax = fig.add_subplot(projection='3d') # Variante
plt.setp(ax.get_xticklabels(), rotation=45)
plt.setp(ax.get_yticklabels(), rotation=-20)
ax.plot(courbe_x, courbe_y, courbe_z, linewidth=2)
ax.set_title('Représentation de la "courbe de Viviani"')
plt.show()

Remarque 5.3. La courbe de Viviani (appelée aussi “fenêtre de Viviani”) est définie comme l’intersection d’une sphère et d’un cylindre qui est tangent à la sphère et passe par le centre de cette dernière :