Soit $f:x\in [a,b]\to f(x)\in \mathbb{R}$ une fonction continue donnée sur l’intervalle $[a,b]$, on cherche à calculer numériquement l’intégrale définie

On peut imaginer approcher numériquement $I$ grâce à une méthode (on parle parfois de formule) d’intégration (ou de quadrature) directement sur l’intervalle $[a,b]$ de départ.

Souvent, on préfère créer une partition de $[a,b]$ et intégrer dans les sous-intervalles de $[a,b]$ définis par la partition. On parle alors de méthode de quadrature composite.

Après avoir partitionné l’intervalle $[a,b]$, l’intégrale définie s’écrit

et on cherche donc alors à approcher numériquement les intégrales ${\int }_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx$ par des formules (méthodes) de quadrature (d’intégration). Parmi les méthodes d’intégration simples, on peut citer :

• les méthodes à un point qui s’inspirent du théorème de la moyenne du calcul intégral selon lequel il existe $\bar{x}\in [x_i,x_{i+1}]$ tel que

  $$I={\int }_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx=(x_{i+1}-x_i)\cdot f(\bar{x}).$$

  Le point $\bar{x}$ n’est pas connu et on peut envisager de se contenter de choisir au mieux un point entre $x_i$ et $x_{i+1}$. C’est ce que fait

  • la méthode du point de gauche où on utilise $x_i$ ,
  • la méthode du point de droite où on utilise $x_{i+1}$ ,
  • la méthode de Riemann où on utilise un point au hasard dans $[x_i,x_{i+1}]$ ,
  • la méthode du point milieu où on utilise le point milieu $(x_i+x_{i+1})/2$ :
    
    L’aire de chacun des rectangles verts est donnée par$$\underset{‘‘{\text{base}}^{\prime \prime }}{\underbrace{(x_{i+1}-x_i)}}\cdot \underset{‘‘{\text{hauteur}}^{\prime \prime }}{\underbrace{f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)}}.$$

• les méthodes à deux points telles que la méthode du trapèze :
  
  L’aire de chacun des trapèzes verts est donnée par$$(x_{i+1}-x_i)\cdot \frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}.$$

Les méthodes à un point reviennent à approximerla fonction $f$ par un polynôme de degré zéro passant par le point, i.e. à approximer $f$ par une fonction constante.

Les méthodes à deux points consistent à approximerla fonction $f$ par un polynôme de degré un passant par les deux points, i.e. à approximer $f$ par une fonction affine.

En ayant déterminé la fonction polynomiale passant par un certain nombre de points de la fonction $f$, on peut alors aisément déterminer une approximation de l’intégrale définie en déterminant l’aire sous la fonction polynomiale. Dans la section suivante, nous allons nous intéresser à ce polynôme d’interpolation (on parle parfois “d’interpolant”).