Critères d'arrêt

Critères d’arrêt

Supposons que

{x_{k}}

soit une suite qui converge vers un zéro

α

d’une fonction

f

. On a le choix entre deux types de critères d’arrêt pour interrompre le processus itératif :

Contrôle du résidu On parle ici de résidu car $f (α) = 0$ . Le processus itératif est arrêté dès que $∣ f (x_{k}) ∣ < ε$ , où $ε$ est la tolérance fixée. Ce test donne une bonne indication de l’erreur commise lorsque $∣ f^{'} (α) ∣ ≅ 1$ , c’est-à-dire lorsque la fonction varie de manière plus ou moins identique en abscisse et en ordonnée dans un voisinage de $α$ : on a alors $∣ x_{k} - α ∣ ≅ ε$ .
Contrôle de l’incrément Le processus itératif est arrêté dès que $∣ x_{k + 1} - x_{k} ∣ < ε$ . Remarquons que dans le cas d’une méthode de point fixe avec une fonction d’itération $Φ (x)$ ce test n’est pas satisfaisant si $Φ^{'} (α)$ est proche de $1$ .
En effet, en exploitant le théorème des accroissements finis, c’est-à-dire la formule de Taylor à l’ordre zéro, il vient $x_{k + 1} - α = Φ (x_{k}) - Φ (α) = Φ^{'} (ξ) (x_{k} - α),$ avec $ξ$ entre $x_{k}$ et $α$ . Or, $x_{k} - α = = (x_{k + 1} - α) + (x_{k} - x_{k + 1}) Φ^{'} (ξ) (x_{k} - α) + (x_{k} - x_{k + 1}) .$ Ainsi, $x_{k} - α = \frac{1}{1 - Φ ^{'} ( ξ )} (x_{k} - x_{k + 1}) .$ Dans le cas où $Φ^{'} (α)$ est proche de $1$ , un incrément petit ne permet pas d’assurer que les valeurs de la suite sont proches de la racine cherchée.
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Polycopié rédigé par Roger Sauser, CMS. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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