Introduction

Définition 1.1. Une équation différentielle (ED) est une équation pour laquelle la (ou les) inconnue(s) sont des fonctions. L’équation est une relation entre la (les) fonction(s) inconnue(s) et ses (leurs) dérivées (éventuellement partielles).

Exemple 1.2. En physique, l’équation de Newton

F = m a

fournit de nombreux exemples d’équations différentielles. Nous allons brièvement en évoquer trois.

Dans le cas de la chute libre d’une masse $m$ , la seule force est le poids $m g$ et l’équation de Newton s’écrit, selon un axe vertical dirigé vers le bas, $m g = ma \equiv m \overset{v}{˙} .$ Ainsi, on cherche dans ce cas à résoudre l’équation différentielle suivante : $\overset{v}{˙} = g,$ où la fonction cherchée est la vitesse $v = v (t)$ . Expérimentalement, on observe que la vitesse augmente linéairement dans le temps et on se convainc facilement, par intégration, que la solution est une fonction affine : $v (t) = A + g t,$ où $A$ est une constante fixée par une condition (par exemple, la vitesse initiale : $v (t = 0) = A$ ).
Dans le cas d’une masse $m$ accrochée horizontalement à un ressort de constante de rappel $k$ , l’équation de Newton s’écrit $- k x = ma \equiv m \overset{x}{¨} .$ L’équation différentielle -0.2cm $\overset{x}{¨} = - \frac{k}{m} x,$ a pour solution la fonction $x = x (t) = A sin ω_{0} t + B cos ω_{0} t .$ avec $ω_{0} = k / m$ , et $A$ , $B$ deux “constantes d’intégration”. La masse oscille autour de la position d’équilibre $x = 0$ .
Une particule de masse $m$ possédant une charge $q$ et se déplaçant dans un champ magnétique $B$ subit une force appelée force de Lorentz. L’équation de Newton de cette particule s’écrit $q v \land B = m a \equiv m \dot{v} .$ La vitesse de la particule satisfait donc l’équation différentielle vectorielle $\dot{v} = \frac{q}{m} v \land B .$ La trajectoire de la particule est une hélice.

Définition 1.3. Une équation aux dérivées partielles est une équation différentielle avec des dérivées partielles d’au moins une fonction inconnue qui dépend de plusieurs variables.

Exemple 1.4. Supposons que la fonction

T (x, y, z, t)

représente la température, la notation

\frac{\partial}{\partial x} T (x, y, z, t)

signifie que l’on dérive

T

par rapport à

x

uniquement, en gardant

y

z

, et

t

constants. Autrement dit, on s’intéresse à la variation de

T

dans la direction

x

uniquement.

Définition 1.5. L’ordre d’une équation différentielle est le degré le plus élevé de dérivation (partielle ou non) d’une fonction inconnue de l’équation différentielle.

Définition 1.6. Une équation différentielle ordinaire (EDO) est une équation différentielle qui ne fait intervenir qu’une seule variable. Il n’y a pas de dérivée partielle dans une équation différentielle ordinaire.

Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser exclusivement à la résolution numérique des équations différentielles ordinaires.

Définition 1.7. Soit

F

une fonction (continue) d’une variable

x

(ou

t

), de

y = y (x)

une fonction inconnue, et des dérivées

y^{'}

y^{''}

\dots

y

. Une équation de la forme

F (x, y, y^{'}, y^{''}, \dots, y^{(n - 1)}) = y^{(n)}

est une EDO explicite d’ordre $n$ . Une équation de la forme

F (x, y, y^{'}, y^{''}, \dots, y^{(n)}) = 0

est une EDO implicite d’ordre $n$ .

Définition 1.8. Si

F

ne dépend pas explicitement de

x

, autrement dit si

F (x, y, y^{'}, y^{''}, \dots, y^{(n)}) \equiv F (y, y^{'}, y^{''}, \dots, y^{(n)})

, l’ED est dite autonome.

Définition 1.9. Résoudre une équation différentielle revient à trouver (toutes) les fonctions $y$ solutions. Une fonction solution

y_{sol.} (x)

est solution de l’EDO implicite

F (x, y, y^{'}, y^{''}, \dots, y^{(n)}) = 0

si,

\forall x

, on a

F (x, y_{sol.}, y_{sol.}^{'}, y_{sol.}^{''}, \dots, y_{sol.}^{(n)}) = 0

Exemple 1.11. L’EDO

y^{''} + y = 0,

que l’on peut réécrire sous la forme

y^{''} = - y,

admet une infinité de solutions de la forme

y_{sol.} (x) = A cos x + B sin x, o \overset{u}{ˋ} A, B \in R .

Les constantes

A

B

peuvent être déterminées en imposant deux conditions initiales. Le nombre de constantes à imposer correspond à l’ordre de l’ED. |ePar

Dans ce chapitre, nous allons nous limiter à la résolution d’équations différentielles ordinaires du premier ordre. Il est toujours possible de résoudre une EDO d’ordre supérieur en résolvant un système d’EDO du premier ordre.

Polycopié rédigé par Roger Sauser, CMS. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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