Problème de Cauchy

Dans ce chapitre, nous allons chercher à résoudre numériquement le problème suivant :

Définition 1.1. Problème de Cauchy (pour une EDO du premier ordre) : Trouver une fonction

y : I \subset R \to R

vérifiant

{y^{'} (t) y (t_{0}) = = f (t, y (t)), \forall t \in I, y_{0},

avec

f : I \times R \to R

une fonction donnée.

La première ligne du problème de Cauchy fournit l’EDO du premier ordre à résoudre. L’EDO est ici donnée sous forme explicite. La seconde ligne correspond à la condition de Cauchy :

t_{0} \in I

est le point (ou le moment) initial et

y_{0}

est la valeur (donnée) initiale.

Remarque 1.2. On note qu’en intégrant la première ligne du problème de Cauchy entre

t_{0}

t

, on obtient

\int_{t_{0}}^{t} y^{'} (τ) d τ = \int_{t_{0}}^{t} f (τ, y (τ)) d τ .

Ainsi, comme le terme de gauche n’est autre que

y (t) - y (t_{0})

, le problème de Cauchy peut être écrit de manière équivalente sous forme intégrale :

y (t) = y (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} f (τ, y (τ)) d τ \equiv y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f (τ, y (τ)) d τ .

La solution au problème de Cauchy est souvent appelée “l’intégrale” de l’EDO.

Polycopié rédigé par Roger Sauser, CMS. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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