Botafogo7.2 Problème de Cauchy
Dans ce chapitre, nous allons chercher à résoudre numériquement le problème suivant :
Définition 7.11.
Problème de Cauchy (pour une EDO du premier ordre) :
Trouver une fonction y:I⊂R→R vérifiant
{y′(t)y(t0)==f(t,y(t)),∀t∈I,y0, avec f:I×R→R une fonction donnée.
Problème de Cauchy (pour une EDO du premier ordre) :
Trouver une fonction y:I⊂R→R vérifiant
{y′(t)y(t0)==f(t,y(t)),∀t∈I,y0, avec f:I×R→R une fonction donnée.
La première ligne du problème de Cauchy fournit l’EDO du premier ordre à résoudre. L’EDO est ici donnée sous forme explicite.
La seconde ligne correspond à la condition de Cauchy : t0∈I est le point (ou le moment) initial et y0 est la valeur (donnée) initiale.
Remarque 7.12.
On note qu’en intégrant la première ligne du problème de Cauchy entre t0 et t, on obtient
∫t0ty′(τ)dτ=∫t0tf(τ,y(τ))dτ.
Ainsi, comme le terme de gauche n’est autre que y(t)−y(t0), le problème de Cauchy peut être écrit de manière équivalente sous forme intégrale :
y(t)=y(t0)+∫t0tf(τ,y(τ))dτ≡y0+∫t0tf(τ,y(τ))dτ.
On note qu’en intégrant la première ligne du problème de Cauchy entre t0 et t, on obtient
∫t0ty′(τ)dτ=∫t0tf(τ,y(τ))dτ.
Ainsi, comme le terme de gauche n’est autre que y(t)−y(t0), le problème de Cauchy peut être écrit de manière équivalente sous forme intégrale :
y(t)=y(t0)+∫t0tf(τ,y(τ))dτ≡y0+∫t0tf(τ,y(τ))dτ.
La solution au problème de Cauchy est souvent appelée “l’intégrale” de l’EDO.
Polycopié rédigé par Roger Sauser, CMS. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).
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