Le déroulement d’une méthode numérique à un pas est le suivant :

• On choisit une partition régulière de $I=[t_0,T]$ : $t_0<t_1<t_2<\cdots <t_N=T$, où $N$ est le nombre de sous-intervalles et $h=\frac{T-t_0}{N}$ est le pas de discrétisation.
• Pour chacun des noeuds $t_n=t_0+nh,$ avec $1\le n\le N$, on cherche la valeur inconnue $u_n$ qui approche $y_n\equiv y(t_n)$. L’ensemble des valeurs $\{u_0\equiv y_0,u_1,u_2,\dots ,u_N\}$, construit à partir de la condition initiale $u_0\equiv y_0$, représente la solution numérique.
• On repète éventuellement la méthode en considérant des partitions de plus en plus fines, c’est-à-dire des partitions avec des pas $h$ de plus en plus petits.

Pour chaque sous-intervalle $[t_n,t_{n+1}]$, on a l’égalité

$$y_{n+1}=y_n+{\int }_{t_n}^{t_{n+1}}f(t,y(t))dt.$$

La méthode numérique choisie permet d’obtenir une approximation de l’intégrale donnant $y_{n+1}\equiv y(t_{n+1})$ à partir de $y_n\equiv y(t_n))$. Nous allons envisager six manières de calculer numériquement cette intégrale. Chacune de ces méthodes permet d’obtenir, pour chaque instant $t_{n+1}$ avec $n=0,\dots ,N-1$, c’est-à-dire pour chaque noeud de la partition de pas $h$ choisie, une approximation numérique $u_{n+1}$ de $y_{n+1}$ :

$$u_0\equiv y_0⟶u_1⟶u_2⟶\dots ⟶u_n⟶u_{n+1}$$

On obtient l’approximation $u_{n+1}$ en $t_{n+1}$ en partant de l’approximation $u_n$ en $t_n$ :

$$u_{n+1}=u_n+\Delta u,$$

où $\Delta u$ n’est autre que la “pente” choisie multipliée par le pas $h$.

Méthode d’Euler progressive

Dans la méthode d’Euler progressive, on choisit d’approcher numériquement l’intégrale définie

$${\int }_{t_n}^{t_{n+1}}f(t,y(t))dt$$

à l’aide de la formule de quadrature non composite du point de gauche :

$$J_n^{\text{PG}}(f)=\underset{=h}{\underbrace{(t_{n+1}-t_n)}}f(t_n,y(t_n)).$$

En remplaçant $y(t_n)$, dont la valeur est inconnue, par l’approximation $u_n$, on obtient alors le schéma numérique suivant :

$$\{\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}& =& u_n+h{f}_n,\\ u_0& =& y_0.\end{array}$$

où $f_n=f(t_n,u_n)$. Dans cette méthode, la “pente” $\Delta u/h$ choisie est

$$f_n\equiv f(t_n,u_n)$$

et

$$u_{n+1}=u_n+\Delta u=u_n+h{f}_n=u_n+hf(t_n,u_n).$$

Méthode d’Euler rétrograde

Dans la méthode d’Euler rétrograde, on approche numériquement l’intégrale définie

$${\int }_{t_n}^{t_{n+1}}f(t,y(t))dt$$

à l’aide de la formule de quadrature non composite du point de droite :

$$J_n^{\text{PD}}(f)=\underset{=h}{\underbrace{(t_{n+1}-t_n)}}f(t_{n+1},y(t_{n+1})).$$

On obtient alors le schéma numérique suivant :

$$\{\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}& =& u_n+h{f}_{n+1},\\ u_0& =& y_0.\end{array}$$

Cette méthode est implicite car $f_{n+1}=f(t_{n+1},u_{n+1})$. Ainsi, on est finalement amené à rechercher le point fixe de l’équation

$$u_{n+1}=u_n+h{f}_{n+1}=g(u_{n+1}).$$

Dans cette méthode, la “pente” $\Delta u/h$ choisie est

$$f_{n+1}\equiv f(t_{n+1},u_{n+1})$$

et

$$u_{n+1}=u_n+\Delta u=u_n+h{f}_{n+1}=u_n+hf(t_{n+1},u_{n+1}).$$

Ici, pour obtenir l’approximation $u_{n+1}$, on est donc naturellement amené à résoudre une équation par la méthode de point fixe :

$$u_{n+1}=u_n+h{f}_{n+1}=g(u_{n+1}).$$

C’est ce que l’on fait par exemple à l’exercice 2 de la série 23. Il est également possible de résoudre cette équation par une autre méthode de recherche de zéros (voir par exemple l’exercice 3 de la série 23 dans lequel on utilise la fonction newton de SciPy).

Méthode de Crank-Nicolson

Dans la méthode de Crank-Nicolson, on approche numériquement l’intégrale définie à l’aide de la formule de quadrature non composite du trapèze :

$$J_n^{\text{TR}}(f)=\underset{=h}{\underbrace{(t_{n+1}-t_n)}}\frac{f(t_n,y(t_n))+f(t_{n+1},y(t_{n+1}))}{2}.$$

On obtient alors le schéma numérique implicite suivant :

$$\{\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}& =& u_n+\frac{h}{2}(f_n+f_{n+1}),\\ u_0& =& y_0.\end{array}$$

La nature implicite de cette méthode rend cette dernière difficile à mettre en place. Souvent, on utilise plutôt un schéma légèrement modifié grâce à une approche de type “prédicteur-correcteur” : on commence par faire une prédiction, c’est-à-dire un premier calcul, par exemple à l’aide du schéma d’Euler (progressif), pour obtenir une approximation

$$u_{n+1}^{\ast }=u_n+h{f}_n.$$

La valeur inconnue $f_{n+1}$ est alors remplacée par

$$f_{n+1}^{\ast }=f(t_{n+1},u_{n+1}^{\ast }).$$

En procédant ainsi, on obtient la méthode de Heun décrite ci-dessous.

Méthode de Heun

Directement inspirée de la méthode de Crank-Nicolson, la méthode de Heun est une méthode explicite correspondant au schéma suivant :

$$\{\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}& =& u_n+\frac{h}{2}(f_n+f_{n+1}^{\ast }),\\ u_0& =& y_0.\end{array}$$

Il s’agit d’une méthode (de Runge-Kutta) explicite en deux étapes :

$$\begin{array}{rcl}{K}_1& =& f(t_n,u_n),\\ K_2& =& f(t_{n+1},u_n+h{K}_1),\end{array}$$

où $K_1$ et $K_2$ sont les deux pentes importantes dans la méthode. Ainsi, le schéma peut être réécrit de la façon suivante :

$$\{\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}& =& u_n+\frac{h}{2}(K_1+K_2),\\ u_0& =& y_0.\end{array}$$

Méthode d’Euler modifiée (améliorée)

On peut également envisager approcher numériquement l’intégrale du problème de Cauchy à l’aide de la formule de quadrature non composite du point milieu :

$$J_n^{\text{PM}}(f)=hf(t_n+\frac{h}{2},y(t_n+\frac{h}{2})).$$

Comme on ne connaît pas $u_{n+1/2}$, on exploite souvent la méthode d’Euler (progressive) pour écrire :

$$u_{n+1/2}=u_n+\frac{h}{2}{f}_n.$$

On obtient alors un schéma appelé méthode d’Euler modifiée (améliorée) :

$$\{\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}& =& u_n+h{f}_{n+1/2},\\ u_0& =& y_0,\end{array}$$

où $f_{n+1/2}=f(t_n+\frac{h}{2},u_{n+1/2})$. On appelle également cette méthode la méthode de Runge-Kutta “classique” à deux étapes :

$$\begin{array}{rcl}{K}_1& =& f(t_n,u_n),\\ K_2& =& f(t_n+\frac{h}{2},u_n+\frac{h}{2}{K}_1).\end{array}$$

Ainsi, le schéma peut être réécrit de la façon suivante :

$$\{\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}& =& u_n+h{K}_2,\\ u_0& =& y_0.\end{array}$$

Méthode classique de Runge-Kutta

Notre étude de l’intégration numérique suggère que l’on peut également envisager utiliser la formule de quadrature non composite de Simpson :

$$J_n^{\text{S}}(f)=\frac{h}{6}\left[f(t_n,y(t_n))+4f(t_n+\frac{h}{2},y(t_n+\frac{h}{2}))+f(t_{n+1},y(t_{n+1}))\right].$$

La méthode de Runge-Kutta classique (à 4 étapes) RK4 consiste à prendre (il s’agit d’un choix) :

$$\begin{array}{rl}{K}_1& =f(t_n,u_n)\leftarrow \text{ (point de gauche)}\\ K_2& =f(t_n+\frac{h}{2},u_n+\frac{h}{2}{K}_1)\leftarrow \text{ (preˊdiction aˋ l’aide d’Euler progressive)}\\ K_3& =f(t_n+\frac{h}{2},u_n+\frac{h}{2}{K}_2)\leftarrow \text{ (preˊdiction aˋ l’aide de }{K}_2)\\ K_4& =f(t_{n+1},u_n+h{K}_3)\leftarrow \text{ (preˊdiction aˋ l’aide de }{K}_3)\end{array}$$

Ainsi, le schéma RK4 peut être écrit de la façon suivante :

$$\{\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}& =& u_n+\frac{h}{6}(K_1+2K_2+2K_3+K_4),\\ u_0& =& y_0.\end{array}$$