Stabilité

Nous allons étudier la stabilité d’un schéma numérique à partir d’un problème de Cauchy particulier :

$$\{\begin{array}{rcl}{y}^{\prime }(t)& =& -\beta y,\text{ ouˋ }t>0\text{ et }\beta \in {\mathbb{R}}^{+},\\ y(t_0)& =& y_0.\end{array}$$

La solution à ce problème est la fonction

$$y(t)=y_0\exp (-\beta t).$$

Numériquement, dans le cadre d’une partition régulière de pas $h$, le schéma d’Euler progressif s’écrit :

$$u_{n+1}=u_n+h(-\beta u_n)=(1-\beta h)u_n,\text{ ouˋ }n=0,1,2,\dots .$$

Ainsi,

$$u_{n+1}=(1-\beta h{)}^{n+1}{u}_0,\text{ ouˋ }n=0,1,2,\dots .$$

On remarque que, même si la solution du problème de Cauchy tend vers zéro lorsque $t$ tend vers l’infini, la solution approchée lorsque $n$ tend vers l’infini tend, en alternance, vers plus ou moins l’infini si $u_0\ne 0$ et $1-\beta h<-1$:

$$(1-\beta h{)}^n\stackrel{n\to \infty }{\to }\pm \infty .$$

Dans ce cas particulier, le schéma d’Euler progressif n’est pas stable. Pour éviter cette instabilité, il est nécessaire de respecter la condition de stabilité suivante :

$$-1<1-\beta h\iff h\le \frac{2}{\beta }.$$

En appliquant le schéma d’Euler rétrograde au même problème de Cauchy particulier, il vient

$$u_{n+1}=u_n+h(-\beta u_{n+1})\iff (1+\beta h)u_{n+1}=u_n$$$$\iff u_{n+1}=\frac{1}{1+\beta h}{u}_n,\text{ ouˋ }n=0,1,2,\dots .$$

Ainsi,

$$u_n=\frac{1}{(1+\beta h{)}^n}{u}_0,\text{ ouˋ }n=0,1,2,\dots ,$$

et on observe que, pour tout $h>0$, on a

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0.$$

Le schéma numérique d’Euler rétrograde est donc stable quelle que soit la valeur de $h$.

Erreur absolue commise

Deux types d’erreurs contribuent à l’erreur commise $d_{n+1}$ :

• les erreurs d’arrondi qui correspondent à des représentations inexactes des nombres dans l’ordinateur ;
• les erreurs de troncature qui sont la somme d’une erreur locale et d’une erreur transportée :$$d_{n+1}=\underset{\text{a)}}{\underbrace{(y_{n+1}-u_{n+1}^{\ast })}}+\underset{\text{b)}}{\underbrace{(u_{n+1}^{\ast }-u_{n+1})}},$$où
  • l’erreur de troncature locale correspond à l’erreur commise sur une seule itération, à partir de la valeur exacte au pas précédent ;
  • l’erreur de troncature transportée correspond aux erreurs accumulées depuis le temps initial.

La figure suivante illustre ces deux erreurs dans le cas de la méthode d’Euler progressive :