6.7 Estimation de l'erreur

6.7 Estimation de l’erreur

On peut montrer que l’erreur absolue commise avec une formule $J (f)$ exacte pour les polynômes de degré $r$ (on dit parfois que $r$ est le degré d’exactitude de la formule) vérifie l’inégalité

e_{abs} = \int_{a}^{b} f (x) d x - J (f) \leq C h^{r + 1},

où $C$ est une constante indépendante du pas $h$ . Par exemple, dans le cas de la formule de Simpson, on peut montrer que

C^{S} = \frac{b - a}{180 \cdot 16} ξ \in] a, b [max ∣ f^{I V} (ξ) ∣,

où $f^{I V}$ est la dérivée quatrième de $f$ .

Toutefois, on se contente souvent d’une estimation de $e_{abs}$ donnée par la différence entre deux approximations successives (de pas $h$ et $h^{'}$ , avec $h^{'} < h$ ).

Remarque 6.14. Dans la série 21, nous avons constaté que le degré d’exactitude d’une méthode est parfois plus élevé que ce que le théorème sur les poids

w_{j}

peut le laisser penser.
Ainsi, par exemple,

r_{PM} = 0 + 1 = 1

r_{S} = 2 + 1 = 3

. En revanche,

r_{TR} = 1

comme attendu.

Polycopié rédigé par Roger Sauser, CMS. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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