Exemple 1.2. Considérons la fonction $$f(t,y)=2t$$ et le problème de Cauchy associé (sans préciser la condition initiale) : $$y^{\prime }=2t.$$ La solution à ce problème est la famille de fonctions $$y(t)=t^2+A,\text{ ouˋ }A\text{ est une constante.}$$ Le champ de directions de $y^{\prime }=2t$ permet de visualiser le comportement des fonctions solutions avant même d’effectuer le moindre calcul (analytique ou numérique) : On remarque bien que, pour une valeur donnée de $t$, la pente de la fonction solution est la même pour toute valeur de $y$ car $y^{\prime }$ ne dépend pas explicitement de $y$. D’autre part, on vérifie que $y(t)=t^2-2$ est ici une solution du problème de Cauchy considéré avec la condition initiale $y(0)=-2$. Cette solution particulière est en tout point de son graphe (dessiné ici en rouge) tangente au champ de directions.