Représentation d'un champ scalaire

Représentation d’un champ scalaire

La température est un exemple de champ scalaire : il s’agit d’une grandeur scalaire dont la valeur (un nombre) varie selon le point de l’espace considéré : $T = f (x, y, z)$ . Une fonction scalaire de deux variables $f (x, y)$ , par exemple la température sur une plaque (surface), peut être visualisée :

soit en deux dimensions à l’aide de courbes de niveau ( $z_{0} = f (x, y)$ ) ;
soit en trois dimensions sous la forme d’une surface permettant de visualiser la valeur $z = f (x, y)$ de la fonction.

Nous allons représenter le champ scalaire bidimensionnel suivant :

f (x, y) = \frac{10 x}{1 + x ^{2} + y ^{2}} .

Définition d’une grille de points en 2D (fonction `np.meshgrid`)

Avant de pouvoir représenter la fonction

f (x, y)

, il est nécessaire de créer une grille rectangulaire de points dans le plan

x y

python

import numpy as np
x = y = np.linspace(-4.,4.,41)
xv, yv = np.meshgrid(x,y,indexing='ij')

A partir de coordonnées x et y également espacées, la fonction np.meshgrid produit les coordonnées “vectorisées” xv et yv (xv et yv sont des tableaux

41 \times 41

de dimension

2

). On calcule alors la valeur de

f

aux

41 \times 41

points de la grille :

python

fv = 10*xv/(1 + xv**2 + yv**2)

Le résultat retourné, fv, est une matrice

41 \times 41

(c’est-à-dire un tableau de dimension

2

Représentations en 2D

Pour représenter le champ scalaire en deux dimensions, il est nécessaire d’importer Matplotlib, avant de créer une figure et un système d’axes :

python

import matplotlib.pyplot as plt 
fig = plt.figure(1) # pour créer la figure
ax = fig.gca()      # pour créer les axes ("get the current axes")

En appelant la fonction contour, on obtient alors, par exemple,

9

courbes de niveau dont les valeurs sont précisées sur le dessin :

python

plt.title("Représentation sous la forme de courbes de niveau")
cs = ax.contour(xv,yv,fv,9) # "contour set"
plt.clabel(cs, inline=True, fontsize=9)
plt.axis('equal')
plt.show()

On peut également afficher la fonction

f (x, y)

comme une image dont les couleurs reflètent les valeurs que prend la fonction :

python

import numpy as np
x = y = np.linspace(-4.,4.,41)
xv, yv = np.meshgrid(x,y,indexing='ij')
#
fv = 10*xv/(1 + xv**2 + yv**2)
#
import matplotlib.pyplot as plt 
fig = plt.figure(1) # pour creer la figure
ax = fig.gca()      # pour creer les axes ("get the current axes")
#
plt.title("Représentation sous la forme d'une image")
ax.imshow(fv)
plt.show()

Types de représentations bidimensionnelles envisageables pour un champ scalaire :

Remarque : la fonction plt.axis(’equal’) permet de faire en sorte que l’échelle soit identique sur les deux axes. En remplaçant ’equal’ par ’scaled’, on contraint de plus le cadre du graphe à être carré.

Représentations en 3D

La fonction ax.contour s’applique également en trois dimensions :

python

%matplotlib notebook
# La ligne ci-dessus permet en principe de modifier 
# l'angle de vue de la représentation.
# Si vous utilisez noto, il est possible que vous deviez 
# installer "ipympl" (commande: pip install ipympl) puis 
# faire précéder le code de la ligne %matplotlib ipympl 
# (au lieu de %matplotlib notebook)
#
import numpy as np
x = y = np.linspace(-4.,4.,41)
xv, yv = np.meshgrid(x,y,indexing='ij')
#
fv = 10*xv/(1 + xv**2 + yv**2)
#
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure(1) 
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.contour(xv,yv,fv,9)
ax.set_title("Representation sous la forme de courbes de niveau (en 3D)")
plt.show()

Pour visualiser le champ scalaire sous forme d’une surface en trois dimensions, les lignes suivantes s’avèrent nécessaires :

python

%matplotlib notebook
import numpy as np
x = y = np.linspace(-4.,4.,41)
xv, yv = np.meshgrid(x,y,indexing='ij')
#
fv = 10*xv/(1 + xv**2 + yv**2)
#
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
fig = plt.figure(1) 
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot_surface(xv,yv,fv,cmap = cm.coolwarm)
ax.set_title("Représentation 3D de la surface $z=f(x,y)$")
plt.show()

La fonction ax.plot_surface utilise ici une carte des couleurs (cmap) qui associe une couleur “chaude” (rouge) aux grandes valeurs de

f

et une couleur “froide” (bleue) aux valeurs les plus petites. Types de représentations tridimensionnelles envisageables pour un champ scalaire :

Polycopié rédigé par Roger Sauser, CMS. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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