Avec les formules de Gauss-Legendre, l’objectif est de choisir au mieux les noeuds dans l’intervalle de manière à ce que les méthodes soient exactes pour des polynômes de degré aussi grand que possible. Les $M$ noeuds considérés par ces formules sont les zéros des polynômes de Legendre $L_M$ dans l’intervalle ouvert $]-1,+1[$. Le polynôme de Legendre de degré $M$ est défini par $$L_M(t)=\frac{1}{2^{M}M!}\frac{d^M}{d{t}^M}(t^2-1{)}^M.$$ On a donc en particulier, $$L_0(t)=1,L_1(t)=t\text{ et }{L}_2(t)=\frac{3t^2-1}{2}.$$ Le polynôme $L_M$ a exactement $M$ zéros réels distincts dans $]-1,+1[$. La formule de quadrature de Gauss-Legendre à $M$ points est alors définie en considérant ces $M$ noeuds $t_j$ : $$J(g)=\sum _{j=1}^M{w}_{j}g(t_j),$$ où les $M$ poids $w_j$ sont définis (comme pour les formules de Newton-Cotes) par $$w_j={\int }_{-1}^1{\phi }_j(t)dt.$$ Les $M$ ${\phi }_j(t)$ sont les polynômes qui forment la base de Lagrange de ${\mathbb{P}}_{M-1}$ associée aux $M$ zéros $t_j$ de $L_M$. On peut montrer que la formule de quadrature de Gauss-Legendre à $M$ points, où $M$ est un entier supérieur ou égal à $1$, est exacte pour les polynômes de degré $r=2M-1$. En exercices, dans la série 21, on utilise $L_2$, et donc une formule à deux points, pour approximer (en fait trouver) la valeur exacte de l’intégrale définie d’un polynôme du troisième degré :