6.5 Formules de quadrature non composites de Gauss-Legendre

Avec les formules de Gauss-Legendre, l’objectif est de choisir au mieux les noeuds dans l’intervalle de manière à ce que les méthodes soient exactes pour des polynômes de degré aussi grand que possible.

Les $M$ noeuds considérés par ces formules sont les zéros des polynômes de Legendre $L_{M}$ dans l’intervalle ouvert $] - 1, + 1 [$ .

Le polynôme de Legendre de degré $M$ est défini par

L_{M} (t) = \frac{1}{2 ^{M} M !} \frac{d ^{M}}{d t ^{M}} (t^{2} - 1)^{M} .

On a donc en particulier,

L_{0} (t) = 1, L_{1} (t) = t et L_{2} (t) = \frac{3 t ^{2} - 1}{2} .

Le polynôme $L_{M}$ a exactement $M$ zéros réels distincts dans $] - 1, + 1 [$ .

La formule de quadrature de Gauss-Legendre à $M$ points est alors définie en considérant ces $M$ noeuds $t_{j}$ :

J (g) = j = 1 \sum M w_{j} g (t_{j}),

où les $M$ poids $w_{j}$ sont définis (comme pour les formules de Newton-Cotes) par

w_{j} = \int_{- 1}^{1} φ_{j} (t) d t .

Les $M$ $φ_{j} (t)$ sont les polynômes qui forment la base de Lagrange de $P_{M - 1}$ associée aux $M$ zéros $t_{j}$ de $L_{M}$ .

On peut montrer que la formule de quadrature de Gauss-Legendre à $M$ points, où $M$ est un entier supérieur ou égal à $1$ , est exacte pour les polynômes de degré $r = 2 M - 1$ .

En exercices, dans la série 21, on utilise $L_{2}$ , et donc une formule à deux points, pour approximer (en fait trouver) la valeur exacte de l’intégrale définie d’un polynôme du troisième degré :

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