Les formules de quadrature non composites de Newton-Cotes sont basées sur le théorème vu à la section précédente appliqué à $M$ noeuds (points) de quadrature $t_j$ équidistants.

Formule du point milieu ($M=1$)

Dans le cas d’une formule à un seul noeud $t_1$, ce dernier peut a priori être choisi arbitrairement dans $[-1,+1]$. La base de Lagrange de ${\mathbb{P}}_{M-1}={\mathbb{P}}_0$ (espace vectoriel des polynômes constants) est formée d’un seul polynôme :

$${\phi }_1(t)=1,\forall t.$$

Par conséquent, en utilisant l’expression des poids suggérée par le théorème de la section précédente, on pose

$$w_1={\int }_{-1}^{+1}{\phi }_1(t)dt={\int }_{-1}^{+1}1\cdot dt=2,$$

si bien que la formule de quadrature s’écrit

$$J(g)=w_{1}g(t_1)=2g(t_1).$$

Cette formule est, par le théorème et de manière évidente, exacte pour les polynômes de degré $M-1=0$. En choisissant $t_1=0$, la formule

$$J(g)=2g(0).$$

est même exacte pour les polynômes de degré $1$.

Pour ce choix particulier, $t_1=0$ , la formule de quadrature est appelée formule de quadrature du point milieu (PM) :

$$J^{\text{PM}}(g)=2g(0).$$

Formule du trapèze ($M=2$)

Pour obtenir la formule dite du trapèze, on choisit les deux noeuds au début et à la fin de l’intervalle $[-1,+1]$ : $t_1=-1$ et $t_2=+1$. La base de Lagrange de ${\mathbb{P}}_{M-1}={\mathbb{P}}_1$ est alors formée des deux polynômes suivants :

$$\begin{array}{rl}{\phi }_1(t)& =\frac{t-t_2}{t_1-t_2}=\frac{t-1}{-2}=\frac{1-t}{2},\\ {\phi }_2(t)& =\frac{t-t_1}{t_2-t_1}=\frac{t+1}{2}=\frac{1+t}{2}.\end{array}$$

Le calcul des poids correspondants fournit alors

$$\begin{array}{rl}{w}_1& ={\int }_{-1}^{+1}{\phi }_1(t)dt={\int }_{-1}^{+1}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t\right)dt=\frac{1}{2}\cdot 2-0=1,\\ w_2& ={\int }_{-1}^{+1}{\phi }_2(t)dt={\int }_{-1}^{+1}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\right)dt=\frac{1}{2}\cdot 2+0=1.\end{array}$$

La formule de quadrature du trapèze s’écrit ainsi

$$J^{\text{TR}}(g)=1\cdot g(-1)+1\cdot g(+1).$$

Cette formule est exacte pour les polynômes de degré $M-1=1$. Elle a le même degré d’exactitude que la formule du point milieu.

Formule de Simpson ($M=3$)

Dans la formule dite de Simpson, on choisit comme noeuds équidistants le début, le milieu et la fin de l’intervalle $[-1,+1]$ : $t_1=-1$, $t_2=0$ et $t_3=+1$. La base de Lagrange de ${\mathbb{P}}_{M-1}={\mathbb{P}}_2$ est alors formée des trois polynômes suivants :

$$\begin{array}{rl}{\phi }_1(t)& =\frac{(t-t_2)(t-t_3)}{(t_1-t_2)(t_1-t_3)}=\frac{t(t-1)}{2}=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{2}t,\\ {\phi }_2(t)& =\frac{(t-t_1)(t-t_3)}{(t_2-t_1)(t_2-t_3)}=\frac{(t+1)(t-1)}{-1}=(t+1)(1-t)=1-t^2,\\ {\phi }_3(t)& =\frac{(t-t_1)(t-t_2)}{(t_3-t_1)(t_3-t_2)}=\frac{(t+1)t}{2}=\frac{1}{2}{t}^2+\frac{1}{2}t.\end{array}$$

Les poids correspondants sont

$$\begin{array}{rl}{w}_1& ={\int }_{-1}^{+1}{\phi }_1(t)dt={\int }_{-1}^{+1}\left(\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{2}t\right)dt=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)-0=\frac{1}{3},\\ w_2& ={\int }_{-1}^{+1}{\phi }_2(t)dt={\int }_{-1}^{+1}\left(1-t^2\right)dt=1\cdot 2-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3},\\ w_3& ={\int }_{-1}^{+1}{\phi }_3(t)dt={\int }_{-1}^{+1}\left(\frac{1}{2}{t}^2+\frac{1}{2}t\right)dt=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)+0=\frac{1}{3}.\end{array}$$

La formule de quadrature de Simpson s’écrit ainsi

$$J^{\text{S}}(g)=\frac{1}{3}\cdot g(-1)+\frac{4}{3}\cdot g(0)+\frac{1}{3}\cdot g(+1).$$

Cette formule est exacte pour les polynômes de degré $M-1=2$.