(p. ex. questions sur matière/exercices):

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• 5.1 Définitions et exemples
  
• 5.2 Propriétés des séries convergentes
• 5.3 Le critère de comparaison
• 5.4 Le critère de Leibniz
• 5.5 Séries téléscopiques
• 5.6 Séries \(\sum_n\frac{1}{n^p}\)
• 5.7 Le critère de la limite du quotient
• 5.8 Séries absolument convergentes
• 5.9 Le critère de d'Alembert

Cette semaine:

• 5.10 Le critère de Cauchy
• 5.11 Séries dépendant d'un paramètre

Sur le problème des signes du terme général: Une série \(\sum_na_n\) est conditionnellement convergente si elle est convergente mais pas absolument convergente. Par exemple, \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^n}{n} \] Ces séries ont des propriétés étranges, qu'on peut par exemple découvrir ici.

1. Faux. Si \(\sum_na_n\) diverge, cela signifie que la suite des sommes partielles \(s_n\) est divergente, mais cela ne signifie pas forcément qu'elle tend vers \(\pm\infty\).
2. Faux. Si \(a_n\gt 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand, et si \(\sum_na_n\) diverge, cela implique que \(s_n\to +\infty\). Mais \(a_n\) n'a pas besoin de tendre vers \(+\infty\). Contre-exemple: \(a_n=\frac1n\) donne une série divergente, dont tous les termes sont positifs, mais \(a_n\to 0\).
3. Faux. Par exemple si \(a_n=1\) pour tout \(n\) alors \(\sum_na_n\) diverge, mais en ôtant par exemple tous les termes d'indices pairs, la série continue à diverger. Remarquons que dans certains cas c'est vrai. Si on retire de la série harmonique \(\sum_n\frac{1}{n}=+\infty\) tous les termes \(\frac{1}{n}\) pour lesquels \(n\) n'est pas de la forme \(n=k^2\), il ne reste plus que \(\sum_k\frac{1}{k^2}\lt +\infty\). (Encore plus simple: on retire tous les termes...)
4. C'est vrai, puisque quelle que soit la valeur de \(N\), la convergence de la série \(\sum_{n\geqslant N}x_n\) dépend uniquement du comportement de la suite \(\widetilde{s}_k=x_N+x_{N+1}+\dots+x_{N+k}\) dans la limite \(k\to\infty\).
   
   On dit que la propriété de ''converger/diverger'', pour une série \(\sum_na_n\), est une propriété asymptotique: déterminer si elle est vraie ou fausse ne dépend pas d'un nombre fini de la suite \(a_n\). En d'autres termes, la réponse à la question ''La série \(\sum_na_n\) est-elle convergente?'' peut être donnée en ignorant un nombre fini quelconque de termes \(a_n\).

C'est vrai. En effet, puisque \(\sum_nx_n\) ne converge pas absolument, cela signifie que \(\sum_n|x_n|\) n'est pas convergente, qui (puisque \(|x_n|\geqslant 0\)) implique forcément \(\sum_n|x_n|=+\infty\), c'est-à-dire \(\lim_{n\to\infty}\widetilde{s}_n=+\infty\), où \(\widetilde{s}_n=|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\).

1. Remarquons que la série est de la forme \(\sum_n 1/n^p\), où \[ p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\gt \frac{1+\sqrt{4}}{2}=\frac{3}{2}\gt 1\,, \] donc la série converge.
2. On peut borner le terme général comme suit: \[ 0\leqslant \frac{3}{n^4+1}\leqslant \frac{3}{n^4}\qquad\forall n\,. \] Puisque \(\sum_n\frac{1}{n^4}\) converge (\(p=4\gt 1\)), \(\sum_n\frac{3}{n^4}\) converge aussi, donc le critère de comparaison implique que \(\sum_n\frac{3}{n^4+1}\) converge.
3. Comme \[ 2^{-\log_2(n)}= \frac{1}{2^{\log_2(n)}}=\frac1n\,, \] cette série est la série harmonique, donc elle diverge.
4. On peut remarquer que le terme général tend vers zéro, ce qui n'est pas suffisant pour faire converger la série. Par contre, on voit que la somme partielle a une structure téléscopique: \[\begin{aligned} s_n & =\sum_{k=1}^n \log\left(\frac{k}{k+1}\right)\\ & =\sum_{k=1}^n \left(\log(k)-\log(k+1)\right)\\ &=-\log(n+1)\,. \end{aligned}\] Donc \(s_n\to -\infty\), et la série diverge.
5. Avec \(a_n=\frac{2^nn!}{n^n}\gt 0\), on calcule \[\begin{aligned} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| &=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^n}{2^nn!}\\ &=\frac{2}{(1+\frac{1}{n})^n}\to \frac{2}{e}\lt 1\,. \end{aligned}\] Par le critère de d'Alembert, la série \(\sum_na_n\) converge.
6. Posons \(a_n=\frac{1}{\log(n^{13})}=\frac{1}{13\log(n)}\). On sait que \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{n}=0\,, \] Ceci implique en particulier qu'il existe un \(N\in\mathbb{N}\) tel que \[ 0\leqslant \frac{\log(n)}{n}\leqslant 1\qquad \forall n\geqslant N\,, \] qui permet d'écrire \[ a_n\geqslant \frac{1}{13 n}=:b_n\geqslant 0\qquad \forall n\geqslant N\,. \] Comme \(\sum_n\frac{1}{13 n}\) diverge, \(\sum_na_n\) diverge aussi.

   Remarque: Si on veut on peut travailler directement dans la limite, en posant \(b_n=\frac{1}{n}\), on a bien \(a_n,b_n\gt 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand, on sait que \(\sum_nb_n\) diverge et que \[ \alpha = \lim_{n\to+\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to+\infty} \frac{n}{13 \log(n)} =+\infty\,, \] donc le critère de la limite du quotient implique que \(\sum_na_n\) diverge aussi.

7. Remarquons que le terme général est de la forme \(a_n=r(n)^n\), où \[ r(n)= \frac{(-1)^nn^2+7\sin(n)}{1+2n^2} \] Or on peut remarquer que \[ 0\leqslant |r(n)|\leqslant \frac{n^2+7}{1+2n^2} \leqslant \frac{1}{2}+\frac{7}{1+2n^2}\,. \] On en déduit qu'il existe un \(N\) tel que \[ 0\leqslant |r(n)|\leqslant \frac34 \qquad \forall n\geqslant N\,. \] Cela implique en particulier que \[ 0\leqslant |a_n|=|r(n)|^n \leqslant \left(\frac34\right)^n \qquad \forall n\geqslant N\,, \] et donc que \(\sum_{n\geqslant N}|a_n|\) converge puisque \(\sum_{n\geqslant N}(\frac34)^n\) converge (série harmonique de raison \(\lt 1\)). Donc \(\sum_na_n\) converge absolument, donc elle converge.
   
   Remarquons qu'on aurait aussi pu passer par le critère de Cauchy, puisque \[ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}= \limsup_{n\to\infty}|r(n)|=\frac12\lt 1\,. \]

1. La série a pour terme général \(a_n=(n+1)c^n\geqslant 0\). Par d'Alembert, \[ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{n+1}c=c\in]0,1[\,, \] donc la série converge. Par Cauchy, \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+1}c=c\in ]0,1[\,, \] donc la série converge.
2. Considérons la \(n\)ème somme partielle, \[ s_n=1+2c+3c^2+\cdots+ nc^{n-1}\,. \] On remarque que \[\begin{aligned} s_n-cs_n &= (1+2c+3c^2+\cdots+ nc^{n-1}) - (c+2c^2+3c^3+\cdots+ nc^{n}) \\ &=(1+c+c^2+c^3+\cdots+c^{n-1})-nc^n\\ &=\frac{1-c^{n}}{1-c}-nc^n\,, \end{aligned}\] qui donne \[ s_n =\frac{1}{1-c}\left( \frac{1-c^{n}}{1-c}-nc^n \right) \] Puisque \(0\lt c\lt 1\), on a que \(c^{n}\to 0\) et \(nc^n\to 0\) (?). On a donc montré que la série converge et que sa valeur est \[ 1+2c+3c^2+4c^3+\cdots =\lim_{n\to\infty}s_n =\frac{1}{(1-c)^2} \]

Considérons un indice \(n\) pair, et réarrangeons les termes de la \(n\)ème somme partielle comme suit: \[\begin{aligned} s_n=s_{2k} &= -\frac11+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4^2}- \frac{1}{5}+\frac{1}{6^2}\cdots+\frac{1}{(2k)^2}\\ &=-I_k+P_k\,, \end{aligned}\] où \[\begin{aligned} I_k&=-\frac11-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{2k-1}\,,\\ P_k&=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\dots+\frac{1}{(2k)^2}\,. \end{aligned}\] Si \(n=2k+1\) est impair, \(s_{2k+1}=s_{2k}+x_{2k+1}=-I_k+P_k-\frac{1}{2k+1}\). On sait que \(P_k\) est croissante et majorée par \(\sum_{j\geqslant 1}\frac{1}{j^2}=\frac{\pi^2}{6}\), donc elle converge, et on sait que \(I_k\to-\infty\). Donc \(s_n\to -\infty\): la série \(\sum_nx_n\) diverge, et \(\sum_nx_n=-\infty\).

Supposons que \(\sum_na_n\) converge mais que \(\sum_n|a_n|=+\infty\). Pour montrer que la suite \((a_n)\) contient une infinité de termes strictement positifs, procédons par l'absurde, en supposant qu'il n'existe qu'un nombre fini d'indices \(n\) tels que \(a_n\gt 0\). Il existe donc un \(N\in\mathbb{N}\) tel que \[ a_n\leqslant 0\qquad\forall n\geqslant N\,, \] et donc en particulier \[ |a_n|=-a_n \qquad\forall n\geqslant N\,. \] Ceci implique, d'après notre hypothèse, que \(\sum_{n\geqslant N}a_n\) converge mais que \(\sum_{n\geqslant N}|a_n|=-\sum_{n\geqslant N}a_n=+\infty\), une contradiction.

On montre de même que \((a_n)\) contient une infinité de termes strictement négatifs.

Remarquons que \[\begin{aligned} 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots (2k+1) &=\frac{ 1\cdot2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdots (2k)\cdot(2k+1)}{ 2\cdot 4\cdot 6\cdots \cdot(2k) }\\ &=\frac{(2k+1)!}{2^kk!}\,, \end{aligned}\] donc la série qu'on est en train d'étudier a pour terme général \[ a_k=\frac{2^k(k!)^2}{(2k+1)!} \] Puisque \[ \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| =\frac{2(k+1)^2}{(2k+3)(2k+2)}\to \frac12\lt 1\,, \] elle converge.