Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

5.9 Le critère de d'Alembert

Séries: critère de d'Alembert (ou ''critère du quotient'')

Théorème: Soit \((a_n)\) une suite pour laquelle la limite \[ \rho:= \lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\, \] existe, ou est \(+\infty\).

Si \(\rho<1\), alors \(\sum_na_n\) converge absolument (donc converge).
Si \(\rho>1\), alors \(\sum_na_n\) diverge.

Preuve:

La preuve commence de la même façon que celle pour le critère de l'Alembert pour les suites:

1) Si \(\rho<1\), on sait qu'il existe \(\varepsilon>0\) et un entier \(N\) tel que \[\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\leqslant 1-\varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,. \] On a donc, pour tout \(n> N\), \[\begin{aligned} |a_{n}|&\leqslant (1-\varepsilon)|a_{n-1}|\\ &\leqslant (1-\varepsilon)^2|a_{n-2}|\\ &\leqslant \dots\\ &\leqslant (1-\varepsilon)^{n-N}|a_N|=:c_n\,. \end{aligned}\] Mais comme \(c_n\) est, à une constante près, le terme général d'une série géométrique (de raison \(r=1-\varepsilon\lt 1\)), la série \(\sum_{n=N+1}^\infty c_n\) converge. Par le critère de comparaison, \(\sum_{n=N+1}^\infty|a_n|\) converge aussi, et donc \(\sum_na_n\) converge absolument.

2) On a déjà vu (Critère de d'Alembert pour les suites) que \(\rho>1\) implique que \(|a_n|\to \infty\), et donc \(a_n\) ne tend pas vers zéro, ce qui implique que \(\sum_na_n\) diverge.

Exemple: Considérons \[\sum_{k\geqslant 1}\frac{(-9)^k}{k!}\,.\] Comme une comparaison avec une série plus simple n'est pas immédiatement facile, on peut calculer \[ \rho =\lim_{k\to\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\lim_{k\to\infty} \left|\frac{\frac{(-9)^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{(-9)^k}{k!}}\right| =\lim_{k\to\infty} \frac{9}{k+1}=0\,. \] Par le théorème, la série est absolument convergente, et donc convergente.

Exemple: Considérons la série \[ \sum_{n\geqslant 1} \frac{(n!)^3}{(2n)!} \] On a \[\begin{aligned} \rho &=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)!^3}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^3}{(2n)!}}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!^3}{n!^3}\frac{(2n)!}{(2(n+1))!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3}{(2n+2)(2n+1)}=+\infty\,. \end{aligned}\] Donc la série est divergente. De plus, puisque tous ses termes sont positifs, on peut écrire \[ \sum_{n\geqslant 1} \frac{(n!)^3}{(2n)!}=+\infty \]

Le théorème ci-dessus ne dit rien sur ce qui se passe lorsque \(\rho=1\), ce qui fait qu'il y a beaucoup de cas où il est inefficace pour étudier une série. Par exemple, on connaît bien les séries du type \(\sum_n\frac{1}{n^p}\), et pourtant, pour tout \(p\gt 0\), \[\begin{aligned} \rho =\lim_{n\to\infty} \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| &=\lim_{n\to\infty} \frac{1/(n+1)^p}{1/n^p}\\ &=\lim_{n\to\infty} \frac{n^p}{(n+1)^p} =\lim_{n\to\infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^p} =1\,, \end{aligned}\] donc le critère ne permet de traiter aucune valeur de \(p\).

Donc lorsque \(\rho=1\), une autre méthode doit être employée pour étudier la convergence/divergence de la série.

Quiz 5.9-1 : Vrai ou faux?

Si \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1\) pour tout \(n\), alors \(\sum_{n}a_n\) converge absolument.
Si il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\leqslant 1-\varepsilon\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors \(\sum_{n}a_n\) converge absolument.
Si \(\sum_na_n\) converge absolument, alors \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1\) pour tout \(n\) suffisamment grand.
Si \(\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\) n'existe pas, alors \(\sum_na_n\) ne converge pas absolument.
Si \(\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1\), alors \(\sum_n|a_n|\) peut être comparée à une série géométrique de raison \(0\leqslant r<1\).