5.1 Définitions et exemples

Une série, en analyse, est une somme infinie.

Dans ce chapitre, nous étudierons les séries numériques, qui ne sont rien d'autre que des sommes infinies dans lesquelles on somme tous les termes d'une suite donnée \((a_n)_{n\geqslant n_0}\), à partir du premier:

\[ a_{n_0}+a_{n_1}+a_{n_2}+a_{n_3}+\dots \] Le symbole utilisé pour représenter un telle somme est \[ \sum_{n=n_0}^\infty a_n\,,\text{ ou }\sum_{n\geqslant n_0}a_n\,, \] ou encore, puisque l'indice est muet, \[ \sum_{k=n_0}^\infty a_k\,,\text{ ou }\sum_{k\geqslant n_0}a_k\,, \] que l'on lit ''la somme de tous les \(a_k\), pour \(k\) allant de \(n_0\) à l'infini'', et on dit que son terme général est \(a_k\).

Il s'agit donc de définir rigoureusement ce que signifie ''sommer une infinité de nombres''. Pour simplifier un peu l'exposition, on supposera souvent que \(n_0=0\) ou \(1\). Nous fixons donc une suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\), et commençons à sommer un à un ses éléments, en commençant par le premier. Ceci mène à définir les sommes successives obtenues:

Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) une suite de réels. On définit la suite \((s_n)_{n\geqslant 0}\) ainsi: \[\begin{aligned} s_0&:= a_0\\ s_1&:= a_0+a_1\\ s_2&:= a_0+a_1+a_2\\ \vdots&\\ s_n&:= a_0+a_1+a_2+\cdots +a_n\\ \vdots& \end{aligned}\] On appelle \((s_n)_{n\geqslant 0}\) la suite des sommes partielles associée à \((a_n)_{n\geqslant 0}\). \(s_n\) est la \(n\)-ème somme partielle.

Quelle que soit la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\), la suite des sommes partielles associée \((s_n)_{n\geqslant 0}\) est toujours bien définie. On donne alors un sens à la somme infinie des \(a_n\) en considérant la limite de la suite des sommes partielles:

Soit \((s_n)_{n\geqslant 0}\) la suite des sommes partielles associée à \((a_n)_{n\geqslant 0}\). Si \((s_n)_{n\geqslant 0}\) converge, c'est-à-dire si la limite \[ s:= \lim_{n\to \infty} s_n \] existe et est finie, on dit que la série \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n\) converge, et que sa somme vaut \(s\). On écrit: \[ \sum_{n=0}^\infty a_n=s\,. \] Dans les autres cas, on dit que la série diverge.

Lorsque \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n=\pm\infty\), on écrit \[\sum_{n=0}^\infty a_n=\pm\infty\,.\]

Exemple: (Suite constante) Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) la suite définie par \(a_n=c\) pour tout \(n\geqslant 0\), où \(c\in \mathbb{R}\) est une constante. La \(n\)ème somme partielle est \[\begin{aligned} s_n &=a_0+a_1+\cdots+a_n\\ &=\underbrace{c+c+\cdots +c}_{n+1\text{ fois}}\\ &=c(n+1)\,. \end{aligned}\] Ainsi, \[ \lim_{n\to \infty}s_n= \lim_{n\to \infty}c(n+1)= \begin{cases} +\infty&\text{ si }c\gt 0\,,\\ 0&\text{ si }c= 0\,,\\ -\infty&\text{ si }c\lt 0\,, \end{cases} \] ce qui implique que la série \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) converge si et seulement si \(c=0\), et dans ce cas \[ \sum_{n\geqslant 0}a_n=0\,. \] Lorsque \(c\neq 0\), la série diverge et \[ \sum_{n\geqslant 0}a_n= \begin{cases} +\infty&\text{ si }c\gt 0\,,\\ -\infty&\text{ si }c\lt 0\,. \end{cases} \]

Ce dernier exemple a montré, sans surprise, qu'une somme infinie de nombres strictement positifs, tous égaux, est infinie.

Exemple: Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \(a_n=n\). La somme partielle \(s_n\) est donc \[s_n=0+1+2+3+4+\cdots+n\,.\] On sait que cette somme vaut \[ s_n=\frac{n(n+1)}{2}\,, \] ce qui implique que \(s_n\to \infty\). Donc la série diverge: \[1+2+3+4+\cdots=\sum_{n=1}^\infty n=+ \infty\,,\]

Même si cela peut sembler contre-intuitif, il est possible de sommer une infinité de nombres non-nuls, et d'obtenir une somme totale finie; nous avions déjà rencontré ce phénomène dans l'étude de la série géométrique; celle-ci fournit notre premier exemple non-trivial de série convergente:

Exemple: La série de terme général \(a_n=r^n\), où \(r\in\mathbb{R}\) est fixé, n'est autre que la série géométrique de raison \(r\): \[ \sum_{n=0}^\infty a_n=1+r+r^2+r^3+\cdots \] Si \(r=1\), la \(n\)ème somme partielle est \(s_n=n+1\), qui diverge bien-sûr. Si \(r\neq 1\), on peut calculer \[ s_n=1+r+r^2+r^3+\cdots+r^n=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\,, \] et conclure: \[ \sum_{n=0}^\infty r^n= \begin{cases} \text{converge} & \text{ si }|r|\lt 1,\\ \text{diverge} & \text{ sinon.}\\ \end{cases} \] De plus, dans le cas où \(|r|\lt 1\), \(s_n\to \frac{1}{1-r}\), et donc \[\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac{1}{1-r}\,. \] Par exemple, \[\begin{aligned} 1+\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac12\right)^n &=\frac{1}{1-\frac12}=2\,,\\ 1-\frac13+\frac1{3^2}-\frac1{3^3}+\cdots =\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac13\right)^n &=\frac{1}{1-(-\frac13)}=\frac34\,. \end{aligned}\]

Nous connaissons un autre cas de série convergente (de termes non-nuls), plus compliqué:

Exemple: Nous avons vu que la série de terme général \(a_n=\frac{1}{n^2}\), \[\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{k^2}=1+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots \qquad\text{ converge}\,.\] En effet, nous avions montré que les sommes partielles \[s_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}\] forment une suite croissante et majorée, donc convergente.

(Création: "Oeuvre 24", de GF)

Divergence de la série harmonique

Au vu du premier exemple de la section précédente, on peut facilement construire des exemples de séries divergentes, comme par exemple \[ 1+1+1+1+\cdots=+\infty \] Considérons maintenant un exemple plus intéressant, et bien plus important, celui de la série harmonique.

Théorème: La série harmonique, de terme général \(a_n=\frac1n\), est divergente: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots=+\infty\,. \]

En d'autres termes, si l'on fait un pas de longueur \(1\), puis un pas de longueur \(\frac{1}{2}\), puis un pas de longueur \(\frac{1}{3}\), et ainsi de suite (toujours vers la droite), alors on part à l'infini.

Remarquons que la suite des sommes partielles associée à la suite \(a_n=\frac{1}{n}\) est strictement croissante: \(s_{n+1}>s_n\). Pour montrer que \(s_n\to \infty\), il suffit donc de trouver une sous-suite \((s_{n_k})_k\) telle que \(s_{n_k}\to \infty\).

Considérons les indices qui sont des puissances de \(2\): \[\begin{aligned} s_2=s_ {2^1}&=\underbrace{1+\tfrac12}_{\geqslant \frac12}\geqslant \tfrac12\\ s_4=s_{2^2}&=\underbrace{1+\tfrac12}_{\geqslant \frac12} +\underbrace{\tfrac13+\tfrac14}_{\geqslant 2\cdot \tfrac14=\tfrac12} \geqslant 2\cdot \tfrac12\\ s_8=s_{2^3}&=\underbrace{1+\tfrac12}_{\geqslant \frac12} +\underbrace{\tfrac13+\tfrac14}_{\geqslant 2\cdot \tfrac14=\tfrac12} +\underbrace{\tfrac15+\cdots+\tfrac18}_{\geqslant 4\cdot \tfrac18=\tfrac12}\geqslant 3\cdot \tfrac12\\ s_{16}=s_{2^4}&=\underbrace{1+\tfrac12}_{\geqslant \frac12} +\underbrace{\tfrac13+\tfrac14}_{\geqslant 2\cdot \tfrac14=\tfrac12} +\underbrace{\tfrac15+\cdots+\tfrac18}_{\geqslant 4\cdot \tfrac18=\tfrac12} +\underbrace{\tfrac19+\cdots+\tfrac{1}{16}}_{\geqslant 8\cdot \tfrac{1}{16}=\tfrac12}\geqslant 4\cdot \tfrac12 \end{aligned}\] Plus généralement, on peut montrer que pour tout entier \(k\geqslant 1\), \[ s_{2^k}\geqslant \frac{k}{2}\,. \] Comme \(\frac{k}{2}\to\infty\) lorsque \(k\to\infty\), on conclut que \(s_{2^k}\to \infty\).

Une autre preuve (très semblable) de la divergence de la série harmonique: A stylish proof that... (Michael Penn)

Nous venons de montrer que la suite partielle associée à la série harmonique, \[ s_n=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac1n\,, \] tend vers l'infini: Cela signifie que quel que soit le seuil \(M\gt 0\) que l'on fixe, aussi grand soit-il, il existe toujours un indice \(N\) tel que \(s_n\geqslant M\) pour tout \(n\geqslant N\).

La suite des sommes partielles de la série harmonique tend vers l'infini, mais très lentement...

Par exemple, si dans l'animation ci-dessus on fixait \(M=50\), il faudrait que \(n\) soit au moins \(\cdot 10^{21}\) pour voir qu'effectivement \(s_n\geqslant 50\)...

On pourra également lire les commentaires se trouvant ici.
(Création: "Oeuvre 24", de GF)
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Sur l'importance de la définition de convergence pour une série

Exemple: Considérons \(a_n=(-1)^{n}\), \(n\geqslant 0\). Les sommes partielles sont alors \[\begin{aligned} s_0&=(-1)^0=1\\ s_1&=(-1)^0+(-1)^1=1-1=0\\ s_2&=(-1)^0+(-1)^1+(-1)^2=1-1+1=1\\ s_3&=(-1)^0+(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3=1-1+1-1=0\\ &\vdots \end{aligned}\] Ainsi, \[s_n= \begin{cases} 0&\text{ si n est impair,}\\ 1&\text{ si n est pair.} \end{cases} \] Donc \(s_n\), ce qui signifie que la série \[ \sum_{n\geqslant 0}(-1)^n=1-1+1-1+1-1+1\cdots\] est divergente.

On serait peut-être tenté de calculer la somme infinie du dernier exemple, \[ s=1-1+1-1+1-1+1\cdots \] à l'aide d'opérations algébriques injustifiées.

Par exemple, on pourrait réorganiser les termes de la série par paquets de deux: \[ s=\underbrace{(1-1)}_{=0}+\underbrace{(1-1)}_{=0}+\cdots=0\,. \] Mais une autre façon de réarranger donnerait \[s=1+ \underbrace{(-1+1)}_{=0}+\underbrace{(-1+1)}_{=0} +\cdots=1 \] Ou alors, en multipliant la somme par \(2\), \[\begin{aligned} 2s=s+s &=1-1+1-1+1-1+1-\cdots\\ &\phantom{=1}+1-1+1-1+1-1+\cdots\\ &=1\,, \end{aligned}\] et donc \(s=\frac12\)... (Voir aussi ici pour une autre façon de formuler la même absurdité.)

Les manipulations formelles faites sur cet exemple (insérer des parenthèses, sommer terme à terme) sont interdites, parce qu'elles s'effectuent sur une série divergente. Ceci montre que l'on ne peut pas manipuler une série comme on manipule une somme contenant un nombre fini de termes, et souligne l'importance de la définition de convergence que nous avons adoptée pour une série (via les sommes partielles).

Dans la section suivante on montrera, entre autres, que pour les séries convergentes, les manipulations usuelles sur les sommes finies sont autorisées.

Quiz 5.1-1 : Soit \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) une série numérique, et \((s_n)_{n\geqslant 0}\) la suite de ses sommes partielles. Vrai ou faux?
  1. \((s_n)_{n \geqslant 0}\) est monotone
  2. \((s_n)_{n \geqslant 0}\) est bornée
  3. Si \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) converge, alors \(s_n\) est monotone
  4. Si \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) converge, alors \(a_n\) est monotone
  5. Si \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) converge, alors \(s_n\) est bornée
  6. Si \((s_n)\) est bornée, alors \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) converge.
  7. Si \(s_n\to \infty\), alors \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) diverge.
  8. Si \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) diverge, alors \(s_n\to \infty\).
  9. Si \(\lim_{k\to\infty}s_{2k}\) et \(\lim_{k \to\infty}s_{2k+1}\) existent, alors \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) converge.
Quiz 5.1-2 : Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) une suite de réels, telle que \(a_n\geqslant 0 \) pour tout \(n\geqslant 0\), et soit \((s_n)_{n\geqslant 0}\) la suite de ses sommes partielles. Vrai ou faux?
  1. \((s_n)_{n\geqslant 0}\) est croissante.
  2. \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) converge si et seulement si \((s_n)_{n\geqslant 0}\) est majorée.
  3. Si \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) converge, alors \(a_n\) est décroissante.
  4. Si \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) converge, alors \(\sum_{n\geqslant 0}(-a_n)\) diverge.

Dernière compilation: 2025-12-20 (08:13:31)

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