Intuitivement, il est clair que pour pouvoir sommer une infinité de nombres \(a_n\), il faut que ceux-ci deviennent toujours plus petits à mesure que \(n\) devient grand:
Lemme: Si \(\sum_na_n\) converge, alors \(a_n\to 0\).
Si la série converge, cela signifie que la suite des sommes partielles a une limite: \(s_n\to s\). On a donc \[\begin{aligned} a_n&=(\underbrace{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n}_{=s_n}) -(\underbrace{a_1+a_2+\dots+a_{n-1}}_{=s_{n-1}})\\ &=s_n-s_{n-1}\,, \end{aligned}\] ceci implique que \(a_n\to s-s=0\).
Comme corollaire du lemme ci-dessus, on a un résultat pratique: si le terme général d'une série ne tend pas vers zéro, alors cette série diverge.
Exemple: La série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{1+3^n}{2^n+3^n}\) diverge. En effet, son terme général ne tend pas vers zéro puisque \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}a_n= \lim_{n\to\infty}\frac{1+3^n}{2^n+3^n} &= \lim_{n\to\infty}\frac{3^n(1+3^{-n})}{3^n(1+(\frac23)^n)}\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{1+3^{-n}}{1+(\frac23)^n}=1\,. \end{aligned}\]
La deuxième qualité importante peut être formulée en disant que la convergence/divergence d'une série est un propriété qui ne dépend pas d'un nombre fini de ses termes. En effet, si une série converge (resp. diverge), alors on peut modifier un nombre arbitraire (mais fini) de termes, elle continuera à converger (resp. diverger).
Exemple: On sait que la série harmonique \(\sum_n\frac{1}{n}\) diverge, et que la série \(\sum_n\frac{1}{n^2}\) converge. Fixons un entier \(N_0\), arbitrairement grand.
Finalement, donnons deux propriétés simples utilisées constamment dans la manipulation des séries convergentes:
Pour des suites \((a_n)_{n\geqslant 0}\), \((b_n)_{n\geqslant 0}\), considérons les sommes partielles associées, notées respectivement \((s_n)_{n\geqslant 0}\) et \((s'_n)_{n\geqslant 0}\). On a donc, par hypothèse, existence des limites \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}s_n&=\sum_{k\geqslant 0}a_k\\ \lim_{n\to\infty}s'_n&=\sum_{k\geqslant 0}b_k\,. \end{aligned}\] Soit \((s_n'')_{n\geqslant 0}\) la suite des sommes partielles associées à la suite \((a_n+b_n)_{n\geqslant 0}\). Pour tout \(n\), \[ s_n''=\sum_{k=0}^n(a_k+b_k)=s_n+s'_n\,. \] (On a fait une opération autorisée puisque les deux sommes sont finies!) Étant la somme de deux suites convergentes, \(s_n''\) est également convergente, et de plus sa somme est \[\begin{aligned} \sum_{k\geqslant 0}(a_k+b_k) &=\lim_{n\to\infty}s_n''\\ &=\lim_{n\to\infty}(s_n+s_n')=\\ &=\lim_{n\to\infty}s_n+\lim_{n\to\infty}s_n'\\ &=\sum_{k\geqslant 0}a_k+\sum_{k\geqslant 0}b_k\,. \end{aligned}\] L'autre propriété se démontre de la même façon.
Exemple: Dans \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\left( \frac{3}{2^n}+\frac{5(-2)^n}{7^n} \right)\), on reconnaît deux séries géométriques, \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{2^n}\) et \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}\frac{(-2)^n}{7^n}\), toutes deux convergentes puisque de raisons \(|r|\lt 1\). On peut donc utiliser la proposition, et en déduire que notre série de départ converge. De plus, sa somme vaut \[\begin{aligned} \sum_{n\geqslant 0}\left( \frac{3}{2^n}+\frac{5(-2)^n}{7^n} \right) &=3\sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{2^n} +5\sum_{n\geqslant 0} \left(\frac{-2}{7}\right)^n\\ &=3\cdot \frac{1}{1-\frac12}+5\cdot \frac{1}{1-(\frac{-2}{7})}\\ &=\frac{89}{9} \end{aligned}\]
Dernière compilation: 2025-09-16 (07:01:30)
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