(p. ex. questions sur matière/exercices):
Cette indétermination ''\(\infty\cdot 0\)'' est difficile à traiter sans avoir recours au calcul différentiel. Si on pose \(f(x)=x^{1/\sqrt{2}}\), alors \[\begin{aligned} n\left( (2+\tfrac{\pi}{n})^{1/\sqrt{2}}-2^{1/\sqrt{2}} \right) &=\pi\frac{ (2+\frac{\pi}{n})^{1/\sqrt{2}}-2^{1/\sqrt{2}} }{\pi/n}\\ &=\pi\frac{f(2+h_n)-f(2)}{h_n}\,, \end{aligned}\] où \(h_n=\frac{\pi}{n}\to 0\). On reconnaît donc, dans la limite \(n\to\infty\), la dérivée de \(f\) en \(x_0=2\): \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{f(2+h_n)-f(2)}{h_n} &= \lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\\ &= f'(2)=\frac{1}{\sqrt{2}}2^{1/\sqrt{2}-1}\,. \end{aligned}\] On a donc \[ \lim_{n\to \infty} n\left( (2+\tfrac{\pi}{n})^{1/\sqrt{2}}-2^{1/\sqrt{2}} \right) =\frac{\pi}{\sqrt{2}}2^{1/\sqrt{2}-1}\,. \]
Considérons la fonction \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x)= \begin{cases} x^2&\text{ si }x\in \mathbb{Q}\,,\\ 0&\text{ si }x\not\in \mathbb{Q}\,. \end{cases} \] Cette fonction est continue en \(x_0=0\) mais discontinue (et donc pas dérivable) en tout point \(x_0\neq 0\). De plus, \(f\) est dérivable en \(0\) puisque dans la limite \(x\to 0\), \[ \left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|= \left|\frac{f(x)}{x}\right| \leqslant\frac{x^2}{|x|}=|x|\to 0\,. \]
C'est faux. Si on reprend l'exemple vu dans le cours: \[ f(x)= \begin{cases} \frac{x}{2}+x^2\sin\left(\frac1x\right)& x\neq 0\,,\\ 0& x=0\,. \end{cases} \] Cette fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Plus précisément, \(f'(0)=\frac12\gt 0\) et pour tout \(x\neq 0\), \[ f'(x)=\frac12+2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right) \] On remarque alors que \(f'\) est strictement négative (et donc \(f\) strictement décroissante) sur des petits intervalles aussi proches que l'on veut de zéro. En effet, si on définit la suite \[ x_n=\frac{1}{2n\pi}\,, \] on a \(x_n\to 0\) et \[ f'(x_n)=-\frac12\lt 0 \qquad \forall n\,. \] Donc il n'existe pas d'intervalle \(]-\delta,+\delta[\) sur lequel \(f\) est croissante.
C'est faux. Comme contre-exemple: \(f(x)=(x-1)^3\), qui satisfait \(f'(1)=0\). Pourtant, \(a\lt 1\lt b\) implique toujours \(f(a)\lt f(b)\).
C'est vrai.
Remarquons que la limite est une indétermination ''\(\frac00\)'', et qu'on peut l'écrire sous la forme \[ \lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)}{g(x)}\,, \] avec \(f(x)=\frac{\pi}{2}-\arcsin(x)\), \(g(x)=\sqrt{1-x}\), deux fonctions dérivables sur \(]0,1[\). On remarque que ni \(g\) ni \(g'\) ne s'annulent sur cet intervalle. Aussi, \[\begin{aligned} \lim_{x\to 1^-}\frac{f'(x)}{g'(x)} &=\lim_{x\to 1^-} \frac{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}\\ &=2\lim_{x\to 1^-} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^2}}\\ &=2\lim_{x\to 1^-} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{(1-x)(1+x)}}\\ &=2\lim_{x\to 1^-} \frac{1}{\sqrt{1+x}}\\ &=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \end{aligned}\] Donc on peut appliquer la règle de BH pour conclure: \[ \lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\sqrt{2}\,. \]
Puisque \(|\cos(e^{1/x^2})|\leqslant 1\),
on a \(\lim_{x\to 0} x^4\cos(e^{1/x^2})=0\). Ainsi,
la limite demandée est une indétermination du type ''\(\frac00\)''.
Soit \(u\in [-1,1]\). Par le Théorème des accroissements finis, il existe \(c\)
entre \(0\) et \(u\) tel que
\[
e^u-1=e^u-e^0=e^c(u-0)\,.
\]
Puisque \(e^c\leqslant e\leqslant 3\), quel que soit \(u\in[-1,1]\), on a
\[ |e^u-1|\leqslant 3|u|\qquad \forall u\in [-1,1]
\]
Ceci permet d'écrire, pour \(x\) suffisamment petit de façon à ce que
\(u(x)=x^4\cos(e^{1/x^2})\in[-1,1]\),
\[\begin{aligned}
\left|
\frac{\exp(x^4\cos(e^{1/x^2}))-1}{x}
\right|
&= \frac{|\exp(x^4\cos(e^{1/x^2}))-1|}{|x|} \\
&\leqslant \frac{3|x^4\cos(e^{1/x^2})|}{|x|} \\
&= 3|x^3|\cos(e^{1/x^2})|\\
&\leqslant 3|x|^3
\end{aligned}\]
Ainsi,
\[
\lim_{x\to 0}
\frac{\exp(x^4\cos(e^{1/x^2}))-1}{x} =0\,.
\]
Remarque:
On serait peut-être tenté d'utiliser la règle de BH pour calculer la limite
demandée.
Si on nomme le numérateur
\(N(x)=e^{x^4\cos (e^{1/x^2})} - 1\)
et le dénominateur
\(D(x)=x\), on remarque que
\[\begin{aligned}
&\frac{N'(x)}{D'(x)}\\
&=
\left(
4 x^3 \cos(e^{1/x^2})
+ x^4
\left(-\frac{2}{x^3}\right)
e^{1/x^2}
\sin(e^{1/x^2})
\right)
\cdot e^{x^4 \cos (e^{1/x^2})}\\
&=
\left(
\underbrace{
4 x^3 \cos(e^{1/x^2})}_{\to 0}
{\color{red}-2x
e^{1/x^2}
\sin(e^{1/x^2})
}
\right)
\cdot
\underbrace{
e^{x^4 \cos (e^{1/x^2})}
}_{\to 1}
\end{aligned}\]
Or on peut montrer (comme on a fait pour montrer que \(\sin(1/x)\)
n'a pas de limite lorsque \(x\to 0\)) que
la partie
\({\color{red}rouge}\) n'a pas de limite lorsque \(x\to 0\).
On conclut que lorsque \(x\to 0\), \(\frac{N'(x)}{D'(x)}\) n'a pas de limite;
la règle de BH ne permet donc pas de déterminer le comportement de
\(\frac{N(x)}{D(x)}\).
On extrait les termes dominants: \[\begin{aligned} \frac{7x^{19}-5x^{11}+\log(x)}{e^{x+\log(x^{19})}+\sin(x)} &= \frac{x^{19}(7-5x^{-8}+\frac{\log(x)}{x^{19}})}{x^{19}(e^x+\frac{\sin(x)}{x^{19}})}\\ &= \frac{7-5x^{-8}+\frac{\log(x)}{x^{19}}}{{\color{red} e^x}+\frac{\sin(x)}{x^{19}}}\\ \end{aligned}\] Donc la limite demandée est nulle.
C'est faux. Remarquons que \(f\) est discontinue en \(x=0\), puisque \[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=0 \neq 3 =f(0)\,. \] Si il existait une fonction \(g\) dérivable telle que \(g'=f\), celle-ci serait continue en \(x=0\), et \[ \lim_{x\to 0^-}g'(x)= \lim_{x\to 0^-}f(x)=0\,. \] Par un théorème vu au cours (voir la troisième conséquence du Théorème des accroissements finis), on aurait donc \(g'(0)=g'_-(0)=0\). Pourtant \(g'(0)=f(0)=3\).