Une question géométrique naturelle, et très utile pour l'étude d'une fonction, est de savoir comment calculer l'équation de la droite tangente au graphe d'une fonction, en un point \((x_0,f(x_0))\):
Pour connaître l'équation de cette droite, de la forme
\[y=mx+h\,,\]
on commence par chercher sa pente \(m\).
Et quand on cherche la pente d'une droite, on a besoin de deux
points sur cette droite et ici, on n'en a qu'un, à savoir le point
\((x_0,f(x_0))\).
L'idée est de passer par un processus de limite.
En effet, introduisons un deuxième point sur le graphe, \((x,f(x))\), où
\(x\) est un point différent de \(x_0\), et considérons la sécante
passant par les points \((x_0,f(x_0))\) et \((x,f(x))\).
La pente de cette sécante est donnée par
\[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,.
\]
Lorsque \(x\) est proche de \(x_0\), cette
pente approxime celle de la droite
que l'on cherche, \(m\).
Dans la limite \(x\to x_0\) (tester sur l'animation ci-dessus), elle devrait même tendre
exactement vers \(m\):
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=m\,.
\]
L'existence de la limite ci-dessus n'est pas garantie en générale.
Remarque: Dans la limite qui définit \(f'(x_0)\), ci-dessus, la variable \(x\) est utilisée uniquement pour calculer la limite; on dit qu'elle est muette. On peut donc écrire \(f'(x_0)\) de différentes manières: \[\begin{aligned} f'(x_0) &=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim_{z\to x_0}\frac{f(z)-f(x_0)}{z-x_0}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\,, \end{aligned}\] où, dans la dernière égalité, on a fait le changement de variable \(h:= z-x_0\).
Exemple: Soit \(f(x)=x^2\). Calculons sa dérivée au point \(x_0=1\): \[\begin{aligned} f'(1) =\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} &=\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1^2}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{\bcancel{(x-1)}(x+1)}{\bcancel{x-1}}\\ &=\lim_{x\to 1}(x+1)\\ &=2\,. \end{aligned}\] Donc la tangente à la parabole au point d'abscisse \(x_0=1\) a une pente de \(2\) (voir l'animation ci-dessous). Son équation est donc de la forme \(y=2x+b\), et comme elle doit passer par le point \((1,f(1))=(1,1)\), on trouve \(b=-1\). Donc la tangente au point \((1,1)\) a pour équation \(y=2x-1\).
Exemple: Soit \(f(x)=\frac{1}{x}\). Au point \(x_0=-2\), \[ f'(-2) =\lim_{x\to -2}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)} =\lim_{x\to -2}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{-2}}{x+2} =-\frac14\,. \]
Voyons quelques exemples de fonctions qui ne sont pas dérivables.
Exemple: Considérons \[ f(x)= \begin{cases} x\sin(\frac1x)&\text{ si }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ si }x= 0\,. \end{cases} \] Au point \(x_0=0\), le rapport donnant la pente de la droite de la sécante est \[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\sin(\tfrac1x)\,, \] qui comme on le sait ne possède pas de limite lorsque \(x\to 0\). Donc \(f\) n'est pas dérivable en \(0\):
Exemple: Considérons \(f(x)=|x|\). Au point \(x_0=0\), la dérivée s'obtient en prenant la limite \(x\to 0\) du rapport \[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{|x|}{x}= \begin{cases} -1&\text{ si }x<0\,,\\ +1&\text{ si }x>0\,.\\ \end{cases} \] Or ce signe n'a pas de limite quand \(x\to 0\), donc \(f\) n'est pas dérivable en \(x_0=0\). Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu'en ce point son graphe ne possède pas de droite tangente naturellement définie:
Exemple: Considérons \(f(x)=\sqrt[3]{x}\). Au point \(x_0=0\), la dérivée s'obtient en prenant la limite \(x\to 0\) du rapport \[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sqrt[3]{x}}{x}= \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\,. \] Or cette limite est \(+\infty\), donc \(f\) n'est pas dérivable en \(x_0=0\). Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu'en ce point son graphe possède une droite tangente, mais verticale (de pente infinie):
De par sa signification géométrique, la dérivée est toujours une limite d'un quotient de deux quantités qui tendent vers zéro. (C'est pour ça que les indéterminations ''\(\frac00\)'' sont si importantes!) \[ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,. \] Interprétons cette limite en introduisant des nouvelles notations:
D'un point de vue quantitatif, ces deux incréments sont petits lorsque \(x\) est proche de \(x_0\); \(\Delta f\) dit exactement de combien \(f\) varie lorsque \(x\) s'écarte de \(x_0\) d'une distance \(\Delta x\):
Ensuite, l'existence de la dérivée, \[ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{\Delta f}{\Delta x}\,, \] signifie que quand l'incrément \(\Delta x\) est petit, alors \(\Delta f\) est essentiellement proportionnel à \(\Delta x\), la constante de proportionnalité étant \(f'(x_0)\): \[ \Delta f\simeq f'(x_0)\Delta x \] On conclut que la dérivée \(f'(x_0)\) représente le taux d'accroissement local de \(f\) en \(x_0\): si on varie la variable de \(x_0\) à \(x_0+\Delta x\), alors la valeur de la fonction passe de \(f(x_0)\) à \(f(x_0)+\Delta f\), où \(\Delta f\) est essentiellement proportionnel à \(\Delta x\), comme dans la relation ci-dessus.
On l'a dit, pour que \(f\) soit dérivable en \(x_0\), il faut que sa droite tangente soit bien définie; elle doit être assez lisse en \(x_0\). En particulier, son graphe ne peut pas faire de saut en \(x_0\):
Lemme: Si \(f\) est dérivable en \(x_0\) alors elle est continue en \(x_0\).
Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors en multipliant et divisant par \(x-x_0\), \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0)) &= \lim_{x\to x_0}\Bigl[ \underbrace{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}_{\to f'(x_0)}\Bigr] \underbrace{(x-x_0)}_{\to 0}\\ &=f'(x_0)\cdot 0\\ &=0\,. \end{aligned}\] Donc \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\), et donc \(f\) est continue en \(x_0\).
Remarque: Attention, la réciproque de l'affirmation du lemme n'est pas vraie. C'est-à-dire que ''continuité'' n'implique pas ''dérivabilité''. Par exemple, on a vu que \(f(x)=|x|\) n'est pas dérivable en \(x_0=0\), pourtant elle est bien continue en ce point.
On a vu plus haut des fonctions (\(|x|\), \(\sqrt[3]{x}\)) qui étaient continues partout mais pas dérivables en un point. On pourrait, en adaptant ces exemples, construire des fonctions qui sont continues partout mais pas dérivables en un nombre arbitraire fini de points. Il est naturel de se poser la question de savoir s'il existe des fonctions qui sont continues partout mais dérivables nulle part. De telles fonctions existent...
Exemple: Considérons \[ f(x):= \sum_{n\geqslant 0} \frac{\cos(9^nx)}{2^n}\,. \] Puisque \[ 0\leqslant \left|\frac{\cos(9^nx)}{2^n}\right| \leqslant \frac{1}{2^n}\,, \] cette fonction est bien définie pour tout \(x\in \mathbb{R}\); elle est paire. Avec un peu plus de travail, on peut montrer qu'elle est aussi continue sur \(\mathbb{R}\). Et avec encore un peu plus de travail, on peut montrer qu'elle n'est dérivable en aucun point de \(\mathbb{R}\).
Dernière compilation: 2025-12-09 (06:00:32)
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