Oui. Ce qu'on applique ici est la définition d'ensemble fermé: un ensemble est fermé si son complémentaire est ouvert. Or le complémentaire est \[ [a,+\infty[^c=]-\infty,a[\,, \] or ce dernier est ouvert, puisque pour tout \(x\lt a\), il existe \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset ]-\infty,a[\).

Oui. Dire qu'une suite \((a_n)_n\) est convergente, par exemple, signifie qu'il existe un nombre fini \(L\) tel que \[ \lim_{n\to \infty}a_n=L \] Par contre, lorsque la suite tend vers l'infini, \[ \lim_{n\to \infty}a_n=+\infty \] c'est une suite divergente (qui ne converge pas).

Pareil pour les limites de fonctions.

Il faut essayer! Il n'y a pas d'algorithme magique qui vous dit tout de suite quelle technique marchera, surtout parce que parfois un calcul de limite peut être abordé de plusieurs façons.

Et avec la pratique on s'habitue.