Séance Contact 13, Lundi 15 déc

(p. ex. questions sur matière/exercices):

(Ou alors cliquer ici, ou encore aller sur https://web.speakup.info/, et entrer dans la room 63186.)


Communications:

Exercice 1: Vrai ou faux? Si \(f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\) est intégrable, alors elle est continue en tout point \(x_0\in]a,b[\).

C'est faux. Une fonction peut être intégrable tout en ayant des discontinuités (voir par exemple la deuxième fonction de l'Ex-13-06).

On sait par contre que les fonctions continues sont intégrables.


Exercice 2: Soit \(f:\left]a,b\right[\to \mathbb{R}\) une fonction continue, et soit \(x_0\) un point fixé de \(]a,b[\). Donner un exemple de fonction \(F\) qui soit une primitive de \(f\), et telle que \(F(x_0)=\pi\).

Puisque \(f\) est continue, le Théorème Fondamental de l'Analyse garantit que la fonction aire \[ A(x)=\int_{x_0}^xf(t)\,dt \] est dérivable sur \(]a,b[\).

On sait que sur un intervalle ouvert, toutes les primitives diffèrent entre elle par des constantes. Donc la primitive que l'on cherche est de la forme \(F(x)=A(x)+C\). Puisque \(A(x_0)=0\), ceci donne \(F(x_0)=C\), et donc la primitive cherchée est \[ F(x)=A(x)+\pi \]


Exercice 3: Calculer la valeur moyenne de \(f:\left[-2,1\right]\to\mathbb{R}\), définie par \[ f(x)= \begin{cases} 0&\text{ si }x\neq 0\,,\\ 1&\text{ si }x= 0\,. \end{cases} \]

En procédant comme dans l'Ex-13-06 (deuxième partie), on montre que l'intégrale de \(f\) sur \([-2,1]\) est nulle. Donc \[ \overline{f}=\frac{1}{1-(-2)}\int_{-2}^1 f(x)\,dx=0\,. \]


Exercice 4: L'intégrale \(\displaystyle\int_{1}^{e}2x\log(x)\,dx\) vaut

Après une intégration par parties, \[\begin{aligned} \int_{1}^{e}\underbrace{2x}_{\uparrow}\underbrace{\log(x)}_{\downarrow}\,dx &= \left.x^2\log(x)\right|_1^e-\int_1^e x^2\cdot \frac{1}{x}\,dx\\ &= \left. x^2\log(x)\right|_1^e - \left.\frac{x^2}{2}\right|_1^e\\ &=e^2-\left(\frac{e^2}{2}-\frac12\right)=\frac{e^2+1}{2} \end{aligned}\]


Exercice 5: Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x)=\int_{-x^3}^{x^5}\exp(t^4)\,dt \] Alors \(f'(1)\) vaut

Puisque \(t\mapsto g(t)=\exp(t^4)\) est continue, elle possède une primitive, que l'on note \(G\). On a donc, par le Théorème Fondamental de l'analyse, \[ f(x)=G(x^5)-G(-x^3)\,, \] et donc \[ f'(x)=g(x^5)(5x^4)-g(-x^3)(-3x^2)\,, \] qui donne \(f'(1)=5g(1)-3g(-1)=8e\).


Exercice 6: Soit \(\displaystyle I=\int_0^4 e^{\sqrt x}\,dx\). Alors

On peut répondre sans connaître la primitive de \(e^{\sqrt{x}}\). En effet, on peut remarquer que pour tout \(x\in [0,4]\), \[ 1=e^0\leqslant e^{\sqrt{x}}\leqslant e^{\sqrt{4}}=e^2=2.718\dots^2 \lt 10 \,, \] et donc \[ 1\cdot(4-0)\leqslant \int_0^4 e^{\sqrt x}\,dx \leqslant 10(4-0)\,. \] Donc la réponse correcte est: \(4\leqslant I\leqslant 40\)

(En utilisant le changement de variable \(u=\sqrt{x}\) suivi une intégration par parties, on trouve \(I=2(e^2+1)=16.778\dots\).)


Exercice 7: (2016) L'intégrale \(\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{\arctan(x)}}{x^2+1}\,dx \) vaut

En posant \(y=\phi(x)=\arctan(x)\), on remarque que \(\phi'(x)=\frac{1}{x^2+1}\), et donc par la formule du changement de variable, \[\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{\arctan(x)}}{x^2+1}\,dx &= \int_{0}^{1} \sqrt{\phi(x)}\phi'(x)\,dx\\ &= \int_{\phi(0)}^{\phi(\pi/4)} \sqrt{y}\,dy\\ &= \int_{0}^{\pi/4} \sqrt{y}\,dy=\frac{\pi^{3/2}}{12}\,. \end{aligned}\] Remarquons qu'on peut aussi faire une intégration par parties pour trouver \[\begin{aligned} I&= \int_0^1\frac{\sqrt{\arctan(x)}}{1+x^2}\,dx\\ &= \left. \arctan(x)\sqrt{\arctan(x)} \right|_0^1 -\int_0^1\arctan(x)\frac{\frac{1}{1+x^2}}{2\sqrt{\arctan(x)}}\,dx\\ &= \left(\frac{\pi}{4}\right)^{3/2} -\frac{1}{2}I\,, \end{aligned}\] qui donne bien \(I=\frac{\pi^{3/2}}{12}\).


Exercice 8: Donner toutes les primitives de la fonction \(f:]0,+\infty[\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x)=\frac{-2x^3-3x+1}{x^4+x^2} \]

La fonction est un quotient \(\frac{P(x)}{M(x)}\) avec \(\deg(P)=3\lt 4=\deg(M)\), donc on peut directement chercher une décomposition en éléments simples

Le dénominateur étant \(x^2(x^2+1)\), il contient:

La décomposition en éléments simples cherchée est donc de la forme \[ \frac{-2x^3-3x+1}{x^2(x^2+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1} \] En mettant les termes du côté droit au même dénominateur, on peut égaler les numérateurs obtenus: \[ -2x^3-3x+1=(A+C)x^3+(B+D)x^2+Ax+B\,. \] Comme cette dernière relation doit être valable pour tout \(x\gt 0\), on peut égaler les coefficients des polynômes du côté gauche/droit. On trouve \(B=1\), \(A=-3\), \(D=-B=-1\), \(C=-2-A=1\), c'est-à-dire \[\begin{aligned} \int&\frac{-2x^3-3x+1}{x^2(x^2+1)}\,dx\\ &= \int \left( \frac{-3}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{x-1}{x^2+1} \right)\,dx\\ &= -3\log(x) -\frac{1}{x} +\frac12\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx -\int\frac{1}{x^2+1}\,dx\\ &= -3\log(x) -\frac{1}{x} +\frac12\log(x^2+1) -\arctan(x)+\text{cste} \end{aligned}\]


Exercice 9: Si \(f:[0,\infty)\to \mathbb{R}\), la transformée de Laplace de \(f(x)\) est la fonction \(L_f\) définie par \[ L_f(s):= \int_0^\infty e^{-sx}f(x)\,dx\,,\quad s>0\,. \] (Lorsque l'intégrale généralisée converge.) Calculer les transformées de Laplace des fonctions suivantes:
  1. \(f(x)=k\) (constante)
  2. \(f(x)=x\)
  3. \(f(x)=\sin (x)\)
  4. \(f(x)=e^{-\alpha x}\)

  1. \(L_f(s)=\frac{k}{s}\).
  2. \(L_f(s)=\frac{1}{s^2}\).
  3. En intégrant deux fois par parties, on peut vérifier que \(L_f(s)\) satisfait \(L_f(s)=\frac{1}{s}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s}L_f(s))\), et donc \(L_f(s)=\frac{1}{1+s^2}\).
  4. \(L_f(s)=\frac{1}{s+\alpha}\).
Remarque: La transformée de Laplace est utilisée par exemple dans la résolution de certaines équations différentielles, et centrale dans le développement de filtres en théorie du signal.

Extras

Exercice 10: (2017) Vrai ou faux? \[ \int_{-\pi}^\pi\sin(x^{13})\,dx=0 \]

C'est vrai, puisque \(f(x)=\sin(x^{13})\) est continue et impaire. (Voir Ex-14-01)


Exercice 11: Vrai ou faux? Soit \(f\colon[0,1]\to \mathbb{R}\) une fonction continue. Alors \[ \int_0^1\Big( f(x)-f(1-x)\Big)\,dx=0\,. \]

C'est vrai, puisque par le changement de variable \(u:= 1-x\), \[\begin{aligned} \int_0^1 f(1-x)\,dx &=\int_1^0 f(u)(-1)\,dx\\ &=\int_0^1 f(u)\,du\\ &=\int_0^1 f(x)\,dx\,. \end{aligned}\]


Exercice 12: Calculer, dans le cas \(b>a^2\), l'intégrale indéfinie \[\int\frac{d x}{x(x^2+2ax+b)}\,.\]

Puisque \(\Delta=4(a^2-b)<0\), on cherche une décomposition du type \[ \frac{1}{x(x^2+2ax+b)} = \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+2ax+b}\,. \] On trouve \(A=\frac1b\), \(B=-\frac1b\), \(C=-\frac{2a}{b}\). Le premier terme donne \[ \int \frac{A}{x}=-\frac1b\log|x|+C_1\,.\] Pour le deuxième terme, on peut réarranger \[\begin{aligned} \frac{Bx+C}{x^2+2ax+b} &= -\frac1b \frac{x+2a}{x^2+2ax+b}\\ &= -\frac{1}{2b}\frac{2x+2a}{x^2+2ax+b} -\frac{a}{b}\frac{1}{x^2+2ax+b}\\ &= -\frac{1}{2b}\frac{2x+2a}{x^2+2ax+b} -\frac{a}{b}\frac{1}{(x+a)^2+b-a^2}\\ &= -\frac{1}{2b}\frac{(x^2+2ax+b)'}{x^2+2ax+b} -\frac{a}{b(b-a^2)}\frac{1}{(\frac{x+a}{\sqrt{b-a^2}})^2+1}\,. \end{aligned}\] On trouve \[\begin{aligned} \int\frac{d x}{x(x^2+2ax+b)} &= \frac{1}{b}\log|x| -\frac{1}{2b}\log(x^2+2ax+b)\\ &\phantom{salutlesluluslili} -\frac{a}{b\sqrt{b-a^2}}\arctan\Bigl( \frac{x+a}{\sqrt{b-a^2}} \Bigr)+C \end{aligned}\]


Exercice 13: Le rayon de convergence de la série entière \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(k+\tfrac{1}{k})x^k\) vaut

On utilise la version ''d'Alembert'' du critère vu dans le cours: \[ \sigma =\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\lim_{k\to\infty}\left|\frac{(k+1)+\frac{1}{k+1}}{k+\frac{1}{k}}\right| =1\,, \] donc le rayon de convergence est égal à \(R=\frac{1}{\sigma}=1\).