Examen blanc 2025:
Calculez \(N\), votre nombre de points, comme suit.
Pour les questions à choix multiple:
\(+3\) points si la réponse est correcte, \(-1\) si elle est fausse, \(0\) si
vous n'avez pas répondu.
Pour les vrai/faux: \(+1\) si correct, \(-1\) si
incorrect, \(0\) si vous n'avez pas répondu.
Comme le nombre maximum de points est \(N_{max}=8\cdot 3+5\cdot 1=29\),
estimez votre ''note'' \(x\in [1,6]\cap\mathbb{Q}\)
par le barême fédéral:
\[ x=\left(5\times \frac{N}{N_{max}}\right) +1\,,
\]
arrondi au quart de point.
Sur Speakup: "Je trouve super d’avoir accès à tout ces différents examens à blanc des années précédentes (car m’aide à savoir ce que j’ai compris ou pas) et je vous en remercie! Mais je trouve dommage d’y dédier une heure de notre seule séance du Lundi matin. Comme on est en classe inversée (comme vous l’avez dit aussi ce matin), ça devrait pas nous poser de problème de faire, si on veut, ces exercices de manière autonome en dehors des heures de cours."
Allez maintenant liker/déliker ce commentaire!
Je vous serais infiniment reconnaissant
de prendre 2 minutes pour répondre à quelques
questions concernant votre utilisation de la plateforme et des réponses reçues
par l'IA:
https://forms.gle/31J83SLpF1WLjhdb9.
Aujourd'hui: Exercice 1:
La fonction
\[
f(x)=
\begin{cases} x^2 & \text{ si } x \leqslant 2 \\
3x-2 & \text{ si } x \gt 2
\end{cases}
\]
est-elle continue en \(x=2\)?
Solution
Oui, puisque \(f(2)=2^2=4\), et
\[\begin{aligned}
\lim_{x\to 2^-}f(x)&=\lim_{x\to 2^-}x^2=4\\
\lim_{x\to 2^+}f(x)&=\lim_{x\to 2^+}(3x-2)=3\cdot 2-2=4\,,
\end{aligned}\]
et donc \(\lim_{x\to 2}f(x)=4=f(2)\).
Exercice 2:
Soit \(f:[0,4]\to\mathbb{R}\) une fonction continue non-constante, telle que \(f(0)=f(4)\).
Montrer qu'il existe \(\widetilde{x}\in [0,2]\) tel que
\[f(\widetilde{x})=f(\widetilde{x}+2)\,.\]
(On commencera par se
convaincre que le résultat doit être vrai, sur un dessin!)
Solution
Considérons \(g:[0,2]\to\mathbb{R}\), la fonction continue définie par
\[
g(x):= f(x)-f(x+2)\,.
\]
Regardons la valeur de \(g(0)=f(0)-f(2)\).
Si \(g(0)=0\),
alors \(f(0)=f(2)\) donc on peut prendre \(\widetilde{x}=0\).
Si
\(g(0)\gt 0\), la condition \(f(0)=f(4)\) implique que
\[\begin{aligned}
g(2)
&=f(2)-f(2+2)\\
&=f(2)-f(4)\\
&=f(2)-f(0)\\
&=-(f(0)-f(2))=-g(0)\lt 0\,.
\end{aligned}\]
En appliquant le Théorème des valeurs intermédiaires à \(g\)
sur \([0,2]\), on en déduit l'existence d'un \(\widetilde{x}\in ]0,2[\) tel que
\(g(\widetilde{x})=0\), c'est-à-dire tel que
\(f(\widetilde{x})=f(\widetilde{x}+2)\).
Pareil si \(g(0)\lt 0\).
Exercice 3:
(Variante de l'Ex-09-04 3), en plus simple.)
Donner l'ensemble \(C\) des points de \(\mathbb{R}\) où la fonction
\[
f(x)=
\begin{cases}
x^2&\text{ si }x\in\mathbb{Q}\,,\\
0&\text{ si }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\,.
\end{cases}
\]
est continue.
Solution
\(C=\{0\}\).
En effet, pour étudier la continuité en \(x_0=0\), on peut simplement remarquer
que pour tout \(x\in \mathbb{R}\),
\[ 0\leqslant f(x)\leqslant x^2\,.
\]
Comme \(\lim_{x\to 0}x^2=0\), le Théorème des deux gendarmes implique que
\(\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)\). Donc \(f\) est continue en \(x_0=0\).
Ensuite, si on prend \(x_0\neq 0\), on sait qu'on peut toujours trouver une
suite de rationnels \(r_n\to x_0\)
et une suite d'irrationnels \(i_n\to x_0\). Or
\[
\lim_{n\to\infty}f(r_n)=
\lim_{n\to\infty}r_n^2=x_0^2\neq 0\,,
\]
alors que
\[
\lim_{n\to \infty}f(i_n)=
\lim_{n\to \infty}0=0\,.
\]
Donc \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) n'existe pas, et \(f\) n'est pas continue en
\(x_0\).
Exercice 4:
Vrai ou faux? La fonction
\[
f(x)=
\begin{cases}
x^2+3x&\text{ si }x\neq 0\,,\\
0&\text{ si }x=0\,
\end{cases}
\]
est dérivable partout et
\[
f'(x)=
\begin{cases}
2x+3&\text{ si }x\neq 0\,,\\
0&\text{ si }x=0\,
\end{cases}
\]
Solution
C'est faux, puisque
\[\begin{aligned}
f'(0)
&=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{x^2+3x}{x}\\
&=\lim_{x\to 0}(x+3)=3\neq 0\,.
\end{aligned}\]
En dehors de \(0\), \(f'(x)=2x+3\). Donc
\[
f'(x)=
\begin{cases}
2x+3&\text{ si }x\neq 0\,,\\
3&\text{ si }x=0\,
\end{cases}
\]
Remarque:
Cette fonction peut être écrite plus simplement:
\(f(x)=x^2+3x\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), et
\(f'(x)=2x+3\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
Exercice 5:
Calculer la dérivée de la fonction ''racine carrée'',
en utilisant uniquement le
fait qu'elle est définie comme la réciproque de la fonction ''au carré''.
Indication: Il s'agit de mettre méticuleusement
en place l'utilisation du théorème dans
Dérivée d'une fonction réciproque.
Solution
On rappelle
(voir Solutions de \(x^2=2\))
que la fonction racine carrée
est construite avant tout comme la réciproque de la bijection
\[\begin{aligned}
f:\mathbb{R}_+&\to\mathbb{R}_+\\
x&\mapsto f(x)=x^2\,,
\end{aligned}\]
à savoir
\[\begin{aligned}
g:\mathbb{R}_+&\to\mathbb{R}_+\\
y&\mapsto g(y)=\sqrt{y}
\end{aligned}\]
On se met dans le cadre du théorème dans
Dérivée d'une fonction réciproque
en se restreignant à un ensemble de départ ouvert, en prenant \(I=F=\mathbb{R}_+^*\):
\[\begin{aligned}
f:\mathbb{R}_+^*&\to\mathbb{R}_+^*\\
x&\mapsto f(x)=x^2\,,
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
g:\mathbb{R}_+^*&\to\mathbb{R}_+^*\\
y&\mapsto g(y)=\sqrt{y}
\end{aligned}\]
Si on fixe \(y_0\in\mathbb{R}_+^*\), on calcule \(g'(y_0)=(f^{-1})(y_0)\) en utilisant
la formule du théorème.
Au point \(x_0=f^{-1}(y_0)=g(y_0)\gt 0\),
on a
\(f'(x_0)=2x_0\gt 0\), donc \(f'(x_0)\neq 0\), et la formule permet d'écrire
\[
g'(y_0)=(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{2x_0}=
\frac{1}{2g(y_0)}\,.
\]
En d'autres termes,
\[ (\sqrt{y})'=\frac{1}{2\sqrt{y}}\qquad\forall y\gt 0\,.
\]
Exercice 6:
Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par
\[f(x)=
\begin{cases}
x+x^3\sin(\tfrac{10}{x})& x\neq 0\,,\\
0 & x=0\,.
\end{cases}
\]
Est-ce que \(f\) est dérivable en \(x_0=0\)?
Est-ce que \(f\) est continûment dérivable en \(x_0=0\)?
Puisque
\[\begin{aligned}
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
&= \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\\
&= \lim_{x\to 0}\left(1+x^2\sin\left(\frac{10}{x}\right)\right)=1\,,
\end{aligned}\]
\(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=1\).
Si \(x\neq 0\) alors
\[\begin{aligned}
f'(x)
&=1+3x^2\sin\left(\frac{10}{x}\right)+x^3\left(\frac{-1}{x^2}\right)
\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\\
&=1+3x^2\sin\left(\frac{10}{x}\right)-x\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\,,
\end{aligned}\]
on a que
\[
\lim_{x\to 0}f'(x)=1=f'(0)\,,
\]
et donc \(f\) est continûment dérivable en \(0\).
Question: Et si on remplaçait, dans la fonction de départ,
''\(x^3\sin(1/x)\)'' par ''\(x^2\sin(1/x)\)''?
Extras
Exercice 7:
Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) une fonction continue telle que \(f(x)^2=1\)
pour tout \(x\in \mathbb{R}\).
Montrer que \(f\) est constante.
Solution
On sait que \(f(x)\in\{-1,+1\}\) pour tout \(x\).
Supposons que \(f\) n'est pas
constante, c'est-à-dire qu'il existe une paire \(x_1\lt x_2\) telle que
\(f(x_1)\neq f(x_2)\).
Comme \(f\) ne prend que les valeurs \(\pm 1\), on n'a que deux cas à traiter.
Si \(f(x_1)=-1\) et \(f(x_2)=+1\), alors le Théorème des valeurs intermédiaires
garantit l'existence d'un point \(x\in]x_1,x_2[\) où \(f(x)=\tfrac12\), ce qui
est impossible.
Si \(f(x_1)=+1\) et \(f(x_2)=-1\), (pareil).
Donc \(f(x_1)=f(x_2)\) pour toute paire \(x_1\neq x_2\), donc \(f\) est
constante.
Exercice 8:
(2015) Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la fonction définie par
\(f(x)=\arctan(\sin(x))\). Alors
\(f\) est bornée et \(\lim_{x\to \infty}f(x)=\frac{\pi}{2}\)
\(f\) est bornée: \(-\frac{\pi}{2}\leqslant f(x)\leqslant +\frac{\pi}{2}\) pour tout
\(x\in\mathbb{R}\).
\(f(x)\) n'a pas de limite lorsque \(x\to+\infty\).
\(f\) est \(2\pi\)-périodique (puisque \(x\mapsto \sin(x)\) a période
\(2\pi\))
\(\lim_{x\to 0}f(x)=0\)
\(f\) est impaire (puisque \(x\mapsto \sin(x)\) et \(x\mapsto \arctan(x)\)
sont impaires)
\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\)
\(f'(x)=\frac{\cos(x)}{1+\sin(x)^2}\), donc
\(f\) n'est pas croissante (sa dérivée a le même signe que le cosinus, qui
change tout le temps de signe), et
\(f'(\pi)=-1\)
