Soit \((a_n)\) une suite réelle.
Alors
\(a_n\to L\) si et seulement si pour tout \(m\in \mathbb{N}^*\) il existe
\(k\in\mathbb{N}\) tel que
\[
|a_n-L|\leqslant \frac{1}{2^m}\qquad \forall n\geqslant 7^k\,.
\]
Soient \((x_n)\), \((a_n)\) et \((b_n)\) trois suites telles que
\(a_n\lt x_n\lt b_n\) pour tout \(n\), et
\(|a_n-b_n|\to 0\). Alors \((x_n)\) est convergente.
Soit \((x_n)\) telle que
\[x_{n+1}\geqslant x_n+\tfrac{1}{9^n}
\quad\text{ et }\quad
x_n(1-x_n)\gt 0
\qquad \forall n\geqslant 47\,.
\]
Alors \((x_n)\) converge.
Soit \((a_n)\) une suite réelle telle que \(a_{2k}\gt k\) pour tout \(k\in
\mathbb{N}\). Alors \(a_n\to\infty\).
Soit \((a_n)\) une suite réelle telle que \(a_n\to L\). Si \(G\) est un
ensemble ouvert quelconque contenant \(L\), alors tous les éléments de la suite
\((a_n)\), à l'exception d'un nombre fini, sont contenus dans \(G\).
FAUX. Contre-exemple: Pour \(a_n\),
choisir n'importe quelle suite divergente, par exemple \(a_n=n\) ou
\(a_n=(-1)^n\). Ensuite prendre par exemple
\(b_n=a_n+\frac{1}{n}\). On a bien
\(|a_n-b_n|=\frac{1}{n}\to 0\). Prendre ensuite par exemple
\(x_n=\frac{a_n+b_n}{2}\).
VRAI.
La première condition implique que \(x_{n+1}\gt x_n\) et la
deuxième que \(x_n\in ]0,1[\). Donc \((x_n)\) est croissante et majorée, donc
elle converge.
FAUX. Contre-exemple:
\[
a_n=
\begin{cases}
\frac{n}{2}+1& n\text{ pair}\,,\\
0& n\text{ impair}\,.
\end{cases}
\]
On pourrait aussi prendre \(a_n=(-1)^n(n+1)\).
VRAI. Soit \(G\) un ouvert contenant \(L\). On sait alors qu'il existe
\(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]L-\varepsilon,L+\varepsilon[\subset G\). Mais puisque
\(a_n\to L\), il existe \(N\) tel que \(a_n\in ]L-\varepsilon,L+\varepsilon[\) pour
tout \(n\geqslant N\), ce qui implique en particulier que
\(a_n\in G\) pour tout \(n\geqslant N\).
Exercice 2:
Soit \((x_n)\) une suite telle que
\[
\lim_{n\to \infty}x_n=L\,,
\]
où \(L\lt 0\).
Montrer que \(x_n\lt 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand.
Solution:
Prenons \(\varepsilon:= \frac{|L|}{3}\).
On sait qu'il existe \(N\) tel que
\[
|x_n-L|\leqslant \varepsilon \qquad \forall n\geqslant N\,.
\]
Or
\[
|x_n-L|\leqslant \varepsilon
\quad\Rightarrow\quad
x_n-L\leqslant \varepsilon
\quad\Rightarrow\quad
x_n\leqslant L+ \varepsilon
\]
Mais puisque \(L\lt 0\), \(L+\varepsilon=L-\frac{L}{3}=\frac{2L}{3}\lt 0\).
Quiz :
La limite
\(\displaystyle
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{3n}+3^{4n}+4^{5n}}{3^{2n}+4^{3n}+5^{4n}}
\) est
\(0\)
\(\frac{4^5}{5^4}\)
\(\frac{2^3}{3^2}\)
\(+\infty\)
Exercice 3:
(Indéterminations avec des \(\pm \infty\).)
Etudier rigoureusement les limites ci-dessous.
Remarquons que \(\sqrt{n}\to +\infty\) et qu'en
multipliant et divisant par le conjugué,
\[\begin{aligned}
\sqrt{n+a}-\sqrt{n}
&=\frac{(n+a)-n}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}\\
&=\frac{a}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}\to 0\,,
\end{aligned}\]
quelle que soit la valeur de \(a\).
La limite demandée est donc une indétermination ''\(\infty\cdot 0\)''.
Mais, en utilisant à nouveau le conjugué,
\[\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n+a}-\sqrt{n})
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a\sqrt{n}}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{n}}+1}\\
&=\frac{a}{2}\,.
\end{aligned}\]
Exercice 5:
Etudier la limite suivante, en fonction de
\(\alpha\in\mathbb{R}\).
\[
\lim_{n\to\infty}n^\alpha\sin(\tfrac{1}{n})
\]
Indication: Dans la distinction des cas, on considérera
séparément le cas \(\alpha=1\).
Solution
On a \(\sin(\frac1n)\to 0\).
Si \(\alpha=0\),
\[ n^\alpha
\sin(\tfrac1n)
=
\sin(\tfrac1n)
\to 0\,.
\]
Si \(\alpha\lt 0\), alors \(\alpha=-|\alpha|\) et
\(n^\alpha=n^{-|\alpha|}=\frac{1}{n^{|\alpha|}}\to 0\), et donc
\[
n^\alpha \sin(\tfrac1n)
=
\frac{1}{n^{|\alpha|}}
\sin(\tfrac1n)
\to 0\cdot 0=0\,.
\]
Si \(\alpha\gt 0\), alors \(n^\alpha\to +\infty\) et donc
la limite de \(n^\alpha\sin(\frac1n)\) est
indéterminée, du type ''\(\infty\cdot 0\)''.
Remarque:
Dans le cas où \(\alpha=1\), le résultat vu au cours (limite de
\(\frac{\sin(x_n)}{x_n}\) vu
ici) implique
\[
n \sin(\tfrac1n)
=\frac{\sin(\frac1n)}{\frac1n}\to 1\,.
\]
On a donc
\[
n^\alpha \sin(\tfrac1n)
=n^{\alpha-1}\frac{\sin(\frac1n)}{\frac1n}
\to
\begin{cases}
+\infty&\text{ si }\alpha-1\gt 0\,,\\
0&\text{ si }\alpha-1\lt 0\,.
\end{cases}
\]
En résumé,
\[
n^\alpha \sin(\tfrac1n)
\to
\begin{cases}
0&\text{ si }\alpha\lt 1\\
1&\text{ si }\alpha= 1\\
+\infty&\text{ si }\alpha\gt 1\,.
\end{cases}
\]
Exercice 6:
Calculer la valeur de
\[
4-\frac{12}{7}+\frac{36}{49}-\frac{108}{343}+\cdots
\]
Solution
Exercice 8:
Montrer que
si \(k_n\in \mathbb{N}\) est une suite d'entiers bornée, alors
\[
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{k_n}= 1\,.
\]
Solution
Soit \(m\in \mathbb{N}\) tel que \(k_n\leqslant m\) pour tout \(m\).
On a
\[
1\leqslant
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{k_n}
\leqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)^m\,.
\]
Du côté droit le produit contient un nombre
fixé de termes, et puisque \(\frac{1}{n}\to 0\), il tend vers \(1\).
Exercice 9:
Le critère de d'Alembert est-il utile
pour calculer
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{n^2}\qquad ?
\]
Réponse
Non. En effet, cette suite donne
\[\begin{aligned}
\rho
&=\lim_{n\to\infty}
\left|
\frac{\log(n+1)/(n+1)^2}{\log(n)/n^2}
\right|\\
&=\lim_{n\to\infty}
\frac{\log(n+1)}{\log(n)}
\underbrace{\frac{n^2}{(n+1)^2}}_{\to 1} \\
&=\lim_{n\to\infty}
\frac{\log(n(1+\frac{1}{n}))}{\log(n)} \\
&=\lim_{n\to\infty}
\frac{\log(n)+\log(1+\frac{1}{n})}{\log(n)} \\
&=\lim_{n\to\infty}
\left(
1+
\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log(n)} \right)\\
&=1\,.
\end{aligned}\]
Dans la dernière ligne, on a utilisé le fait que \(\log(1+\frac{1}{n})\to 0\) et
que \(\log(n)\to \infty\).
Révision + Extras
Exercice 10:
(QCM 2016) Soit \(E\subset \mathbb{R}\) défini par
\[
E=\left\{
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{-1}\,:\,n\in\mathbb{N}^*
\right\}
\]
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte?
Remarquons que
\[
E=\left\{a_n= \frac{n}{n+2} \,:\,n\in\mathbb{N}^* \right\}
\]
Comme \((a_n)\) est croissante, \(E\) possède un élément minimal: \(a_1=\min
E=\inf E\).
Aussi on montre facilement (procéder comme dans l'Exercice 02-04) que
\(\sup A=1\).
Donc \(\inf E=\frac13\in E\) et \(\sup E=1\not \in E\).
Exercice 11:
Un rationnel \(r\) est dit dyadique s'il peut s'écrire sous la forme
\(r=\frac{m}{2^k}\), où \(m\in \mathbb{Z}\), \(k\in \mathbb{N}\).
Montrer que l'ensemble des rationnels dyadiques est dense dans \(\mathbb{R}\).
Quiz :
Si la limite
\(\displaystyle
\widetilde{\rho}=
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{x_{n+2}}{x_n} \right|
\)
existe et \(\widetilde{\rho}\lt 1\), alors \(x_n\to 0\).
VRAI
FAUX
Si on procède exactement comme dans
la preuve du critère de d'Alembert,
on montre qu'il existe un
\(\delta\in ]0,1[\) et un entier \(N\) tels que
\[
|x_{n+2k}|\leqslant (1-\delta)^k|x_n|\qquad \forall k\in\mathbb{N},n\geqslant N
\]
Comme \((1-\delta)^k\to 0\) lorsque \(k\to\infty\), cette dernière implique que
le long des indices pairs, \(x_{2j}\to 0\), et
le long des indices impairs, \(x_{2j+1}\to 0\), ce qui implique \(x_n\to 0\).
Exercice 12:
Vrai ou faux?
Si \(a_n=\frac{n}{(n+1)^2}\),
et \(q_n=|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\),
alors
