Séance Contact 01, Lundi 8 sept

Bienvenue à toutes et à tous!


Communications:

Remarque: Rappelons: il y a deux séances d'exercices, mais une seule série d'exercices par semaine.

Je suppose que vous avez déjà lu toutes les informations disponibles sur le cours, dans Informations générales.

A propos du matériel didactique:

Avant de poser une question sur un exercice: Si on pose une question sur le forum: À propos des réponses de l'IA: Aujourd'hui: Quelques sections du Chapitre II (Notions élémentaires):
Exercice 1: Trouver l'ensemble image de la fonction dont le graphe est donné dans l'animation ci-dessous:

Exercice 2: Calculer l'ensemble image de la fonction \[\begin{aligned} f:\mathbb{R}\setminus\{-2\} &\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto f(x)=\frac{x+1}{x+2}\,. \end{aligned}\]

On procède exactement comme indiqué ici:
Fixons \(y\in\mathbb{R}\), et étudions les solutions de l'équation \(y=f(x)\), qui n'est autre que \[ y=\frac{x+1}{x+2}\,. \] (Bien-sûr, on est en train de supposer que \(x\neq -2\).) après multiplication des deux côtés par \(x+2\), et quelques réarrangements, on obtient \[ x(y-1)=1-2y\,. \] Pour garantir que \(x\) peut être isolé, il faut considérer deux cas:

  1. Si \(y=1\), l'équation devient \(x\cdot 0=-1\), qui n'a aucune solution.
  2. Si \(y\neq 1\), on peut isoler \(x\) dans l'équation pour obtenir \(x=\frac{1-2y}{y-1}\), qui est (l'unique) solution de l'équation \(y=f(x)\).
Par conséquent, l'équation \(y=f(x)\) possède une solution si et seulement si \(y\neq 1\). On a donc montré que \[ \mathrm{Im} (f)=\mathbb{R}\setminus \{1\} \]


Exercice 3: Calculer l'ensemble image de la fonction \[\begin{aligned} f:\mathbb{R} &\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}\,. \end{aligned}\]