Exercice 07-10
(Cet exercice est facultatif)

Soit \((a_n)\) une suite pour laquelle les deux limites ci-dessous existent: \[ L_1=\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\,,\qquad L_2=\lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\,. \] Montrer que \(L_1=L_2\).
Remarquons que Cet exercice a donc pour but de montrer qu'une suite satisfait au critère de Cauchy (\(\sigma\lt 1\)) si et seulement si elle satisfait au critère de d'Alembert (\(\rho\lt 1\)).

On pourra s'inspirer des manipulations faites dans la preuve du critère de d'Alembert pour les suites.

Prendre la définition de \(L_2\) et la rendre explicite à l'aide d'un \(\varepsilon\gt 0\) et d'un \(N\).

Dans le cas \(L_2\gt 0\), l'utiliser pour obtenir \[ (L_2-\varepsilon)^{n-N}|a_N|\leqslant |a_{n}|\leqslant (L_2+\varepsilon)^{n-N}|a_N|\qquad \forall n\geqslant N\,. \]

prendre la racine \(n\)ème dans la dernière expression, puis faire \(n\to \infty\).



Le résultat démontré dans cet exercice implique, dans ce cas particulier où les limites définissant \(\sigma\) et \(\rho\) sont finies, que les critères de Cauchy et d'Alembert mènent toujours à la même conclusion pour ce qui est de la convergence/divergence de la série \(\sum_na_n\).

Il existe pourtant des séries pour lesquelles le critère de Cauchy permet de conclure mais pas celui de d'Alembert.

Exemple: Considérons la série \[ \sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{2^{n+(-1)^n}}\,. \] Le critère de Cauchy garantit que la série converge puisque \[ \sigma=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{1+\frac{(-1)^n}{n}}}=\frac12\lt 1\,. \] Par contre le critère de d'Alembert ne dit rien puisque \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \begin{cases} 1/8& \text{n pair}\,,\\ 2& \text{n pair}\,, \end{cases} \] qui implique que ce quotient n'a pas de limite lorsque \(n\to\infty\). Donc le critère de d'Alembert ne s'applique pas.

Dans le cas où \(L_2\gt 0\), prenons \(\varepsilon\gt 0\) petit de façon à ce que \(L_2-\varepsilon\gt 0\), et considérons \(N\) tel que \[ L_2-\varepsilon\leqslant \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| \leqslant L_2+\varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,. \] De cette dernière, on tire que \[ (L_2-\varepsilon)^{n-N}|a_N|\leqslant |a_{n}|\leqslant (L_2+\varepsilon)^{n-N}|a_N|\qquad \forall n\geqslant N\,, \] et donc \[ (L_2-\varepsilon)^{1-N/n}|a_N|^{1/n}\leqslant \sqrt[n]{|a_n|}\leqslant (L_2+\varepsilon)^{1-N/n}|a_N|^{1/n}\qquad \forall n\geqslant N\,, \] En prenant \(n\to\infty\), on obtient \[ L_2-\varepsilon\leqslant L_1\leqslant L_2+\varepsilon\,. \] Comme ces inégalités sont vérifiées pour tout \(\varepsilon\gt 0\), ceci montre que \(L_1=L_2\).

Dans le cas où \(L_2=0\), on prend un \(\varepsilon\gt 0\) et un \(N\) tel que \[ 0\leqslant \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| \leqslant \varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,, \] qui donne \[ 0\leqslant |a_{n}|\leqslant \varepsilon^{n-N}|a_N|\qquad \forall n\geqslant N\,, \] et donc \[ 0\leqslant \sqrt[n]{|a_n|}\leqslant \varepsilon^{1-N/n}|a_N|^{1/n}\qquad \forall n\geqslant N\,, \] En prenant \(n\to\infty\), on obtient \[ 0\leqslant L_1\leqslant \varepsilon\,. \] Comme ceci est vrai pour tout \(\varepsilon\gt 0\), on a que \(L_1=0\), et donc \(L_1=L_2\).