Exercice 10-12
Parmi les fonctions ci-dessous, déterminer celles qui sont dérivables, ou continûment dérivables sur \(\mathbb{R}\).
  1. \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x-1)}{x-1}, & x\neq 1\\ 0\,, & x=1 \end{cases} \)
  2. \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} x\sin(x)\sin(\frac{1}{x}), & x\neq 0\\ 0\,, & x=0 \end{cases} \)
  3. \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} x\arctan(\frac{1}{x}), & x\neq 0\\ 0\,, & x=0 \end{cases} \)
  4. \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2\arctan(\frac{1}{x}), & x\neq 0\\ 0\,, & x= 0 \end{cases} \)
Rappelons qu'une fonction est continûment dérivable si elle est dérivable et que sa dérivée est continue. Voir les détails ici.

Toutes les fonctions \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) données ici sont définies sur \(\mathbb{R}\): \(D(f)=\mathbb{R}\). On pourra donc, pour chacune:
  1. Commencer par étudier \(f'\), ainsi que son domaine \(D(f')\).
  2. Étudier les points de \(D(f')\) en lesquels \(f'\) est continue.

Rappelons que \(x\mapsto \arctan(x)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que sa dérivée vaut \[ (\arctan(x))'=\frac{1}{1+x^2}\,, \]

  1. Remarquons que \(f\) est dérivable en tout \(x\neq 1\) (puisque c'est un quotient bien défini de fonctions dérivables), mais que \[\lim_{x\to 1}f(x)=1\neq 0=f(1)\,,\] et donc \(f\) n'est pas continue en \(1\), donc elle n'est pas non plus dérivable en \(1\). Donc \(D(f')=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Ensuite, comme \[ f'(x)=\frac{(x-1)\cos(x-1)-\sin(x-1)}{(x-1)^2} \qquad \forall x\neq 1\,, \] \(f'\) est clairement continue sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Donc \(f\) est continûment dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), mais pas dérivable en \(1\).
  2. Pour \(x\neq 0\), \(f\) est un produit de fonctions dérivables, elle est donc dérivable et \[\begin{aligned} f'(x) &= \sin(x)\sin(\tfrac{1}{x})+x\cos(x)\sin(\tfrac{1}{x}) - x\sin(x)\cos(\tfrac{1}{x})\tfrac{1}{x^{2}}\\ &= \sin(x)\sin(\tfrac{1}{x})+x\cos(x)\sin(\tfrac{1}{x}) - \tfrac{1}{x}\sin(x)\cos(\tfrac{1}{x})\,. \end{aligned}\] Pour la dérivée de \(f\) en \(x=0\), on a \[\begin{aligned} f'(0) & =\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{x\sin(x)\sin(\tfrac{1}{x})-0}{x} \\ &=\lim_{x\to 0}(\sin(x)\sin(\tfrac{1}{x}))\\ &=0\,, \end{aligned}\] où on a utilisé le fait que \(|\sin(1/x)|\leqslant 1\) et \(\lim_{x\to 0}\sin(x)=0\). \(f\) est donc dérivable partout, \(D(f')=\mathbb{R}\), et sa dérivée est donnée par \[ f'(x)= \begin{cases} \sin(x)\sin(\frac{1}{x})+x\cos(x)\sin(\frac{1}{x}) - \frac{1}{x}\sin(x)\cos(\frac{1}{x})&\text{ si }x\neq 0\\ 0&\text{ si }x=0\,. \end{cases} \] Il est donc clair que \(f'\) est continue en tout \(x_0\neq 0\), puisqu'en ces points c'est une somme de produits de composées de fonctions dérivables.
    Pour la continuité de \(f'\) en \(x_0=0\), il faut voir si \(\lim_{x\to 0}f'(x)\) existe et vaut \(f'(0)=0\). Pour le premier terme, on a déjà vu ci-dessus que \[ \lim_{x\to 0}(\sin(x)\sin(\frac{1}{x}))=0\,. \] Pour le deuxième terme de \(f'\) on a \[ \lim_{x\to 0}x\cos(x)\sin(\tfrac{1}{x}) = \lim_{x\to 0}\cos(x) \,\cdot\, \lim\limits_{x\to 0}(x\sin(\tfrac{1}{x}))=1\cdot 0=0\,. \] Pour le troisième terme \[ -\frac{1}{x}\sin(x)\cos(\frac{1}{x}) =-\frac{\sin(x)}{x}\cos(\frac{1}{x})\,, \] on a bien-sûr existence de la limite de \(\frac{\sin (x)}{x}\), par contre \(\cos(\frac1x)\) n'a pas de limite lorsque \(x\to 0\). On en conclut que \(f'(x)\) n'a pas de limite lorsque \(x\to 0\), donc \(f'\) n'est pas continue en \(x=0\), ce qui implique que \(f\not\in C^1(\mathbb{R})\).
  3. On a, pour tout \(x\neq 0\), \(f'(x)=\arctan(\frac{1}{x})-\frac{x}{1+x^2}\), qui est continue sur \(\mathbb{R}^*\). Par contre, \[ f'_{\pm}(0) =\lim_{x\to 0^\pm} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0^\pm} \arctan(\tfrac{1}{x})=\pm\frac{\pi}{2}\,. \] Donc \(f\) n'est pas dérivable en \(x=0\). Ainsi, \(D(f')=\mathbb{R}^*\).
  4. On a, pour tout \(x\neq 0\), \(f'(x)=2x\arctan(\frac{1}{x})-\frac{x^2}{1+x^2}\), qui est continue sur \(\mathbb{R}^*\). Ensuite, \[ f'(0) =\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0} x\arctan(\tfrac{1}{x})=0\,, \] (puisque \(\arctan\) est bornée sur \(\mathbb{R}\)) et donc \(f\) est dérivable en \(0\). De plus, comme \[ \lim_{x\to 0}f'(x) =\lim_{x\to 0}\Bigl\{ 2x\arctan(\frac{1}{x})-\frac{x^2}{1+x^2} \Bigr\} =0=f'(0)\,, \] et donc \(f'\) est continue aussi en \(x=0\). Ainsi, \(f\in C^1(\mathbb{R})\).