Si \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\,(x-1)^k\) (centrée en \(x_0=1\)) converge en \(x=0\), c'est que son rayon de convergence \(R\geqslant 1\), donc elle converge au moins pour tous les points de \([0,1+1[=[0,2[\). Or on connaît des séries entières qui convergent à une extrémité de l'intervalle mais pas à l'autre. Par exemple, la série entière \[ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}(x-1)^k \] a un intervalle de convergence qui est exactement \([0,2[\), puisqu'elle converge en \(x=0\) (série harmonique alternée), mais diverge en \(x=2\) (série harmonique).

Vidéo (David Strütt)