Soient \( (a_n)_{n \geqslant 0}\) et \((b_n)_{n \geqslant 0}\) deux suites telles que
pour tout \(n \in {\mathbb{N}}\),
\(0 \lt a_n \lt b_n\).
Si la série
\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n\) diverge, alors la série
\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{b_n}\) converge.
Contre-exemple:
Si
\(a_n=\frac12\) pour tout \(n\geqslant 1\),
\(b_n=1\) pour tout \(n\geqslant 1\), alors
\(0\lt a_n\lt b_n\) pour tout \(n\geqslant 1\), \(\sum_na_n\) diverge, et
\(\sum_n\frac{1}{b_n}\) diverge aussi.
Vidéo (David Strütt)