Soit
\(f\colon \left]0,1\right[\to \mathbb{R}\) une fonction continue. Alors il existe une
fonction continue \(g\colon\left[0,1\right]\to \mathbb{R}\) telle que \(g(x) = f(x)\) pour tout \(x\in
\left]0,1\right[\).
Si cette fonction \(g\) existe, c'est que c'est forcément le prolongement de
\(f\) par continuité sur les bords de l'intervalle. Or ce prolongement est
possible seulement si les limites
\[
\lim_{x\to 0^+}f(x)
\qquad \text{ et }\qquad
\lim_{x\to 1^-}f(x)
\]
existent.
Contre-exemple: \(f(x)=\frac{1}{x(x-1)}\), pour laquelle ces deux limites ne
sont pas finies, ou encore \(f(x)=\sin(1/x)\) qui n'a pas de limite \(x\to
0^+\).
Vidéo (David Strütt)