Soit \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction continûment dérivable.
Alors
\[
\frac12 f(t)^2 =\frac{1}{2}f\left(0\right)^2+ \int_0^t f(x)f'(x) \, dx\qquad \forall t\in \mathbb{R}.
\]
C'est le Théorème Fondamental de l'Analyse, appliqué à la fonction continue
\(x\mapsto
f(x)f'(x)\), dont \(\frac12 f(x)^2\) est une primitive:
\[
\int_0^t f(x)f'(x)\,dx=
\frac12 f(x)^2\Big|_0^t=\frac12f(t)^2-\frac12 f(0)^2
\]
Vidéo (David Strütt)