Soient \(A,B \subset \mathbb{R}\) deux ensembles non vides et bornés, et \(c\in
\mathbb{R}\). Alors,
\[
\sup\{x+c\,:\,\ x\in A\} - \sup\{x+c\,:\,\ x\in B\} = \sup A - \sup B.
\]
Si \(A\subset \mathbb{R}\), l'ensemble \(A+c\) défini par \(\{x+c\,:\,x\in A\}\)
est \(A\)
translaté de \(c\). Ceci implique que son supremum est
\(\sup(A)+c\). Ainsi,
\[\begin{aligned}
\sup(A+c)-\sup(B+c)&=
(\sup(A)+c)-(\sup(B)+c)\\
&=\sup(A)-\sup(B)
\end{aligned}\]
Vidéo (David Strütt)