Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions possédant des développements limités
d'ordre \(1\) autour de \(x_0=0\), donnés par
\[\begin{aligned}
f(x)&=1+2x+x\varepsilon(x)\,,\\
g(x)&=1+\frac{1}{2}x+x\varepsilon(x)\,.
\end{aligned}\]
Alors le développement limité d'ordre \(1\) de \(f(g(x))\)
autour de \(x_0=0\) est donné par
\[
f(g(x))=3+x+x\varepsilon(x)
\]
Pour avoir un développement limité de \(f\circ g\) autour de \(x_0=0\),
cela fait sens d'insérer le développement limité de \(g\) dans celui de \(f\) si
le développement de \(f\) que l'on a est autour de \(g(0)=1\),
ce qui n'est pas ce qu'on a ici.
Vidéo (David Strütt)