La fonction \(g(x)=\sqrt{x}\), définie sur \(\mathbb{R}_+\), a deux points fixes,
\(0\) et \(3\).
L'image suggère fortement que \(u_n\to 3\). Pour le montrer rigoureusement:
Montrer que \(u_n\leqslant 3\) pour tout \(n\). Par induction:
\(u_0=\sqrt{3}\lt 3\). Si c'est vrai pour \(n\), \(u_n\leqslant 3\), alors pour
\(n+1\) on peut écrire (en utilisant le fait que \(x\mapsto \sqrt{3x}\) est
croissante)
\[
u_{n+1}=\sqrt{3u_n}\leqslant \sqrt{3\cdot 3}=3
\]
Montrer que \((u_n)\) est croissante: Par le point précédent,
\[ u_{n+1}-u_n=\sqrt{3u_n}-u_n=\sqrt{u_n}(\sqrt{3}-\underbrace{\sqrt{u_n}}_{\leqslant
\sqrt{3}})\geqslant 0
\]
Donc \((u_n)\) est croissante et majorée, donc elle converge. Comme \(u_0\gt
0\), et comme \(g(x)=\sqrt{x}\) est continue, sa limite ne peut être que le
point fixe \(3\).
