Question 05
Soit, pour \(a_0\in\mathbb{R}\), la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie pour \(n\geqslant 1\) par \(\displaystyle a_n=\frac12 a_{n-1}+\frac{1}{2}\).
  • Si \(a_0\lt 0\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty\).
  • Si \(a_0\gt 1\), la suite est croissante.
  • Si \(a_0=0\), la suite est convergente.
  • Si \(a_0\lt 1\), la suite est décroissante.
On regarde le graphe de \(g(x)=\frac12+\frac{x}{2}\), dont l'unique point fixe est \(x_*=1\), et on en déduit le comportement de la trajectoire en fonction de la condition initiale.
L'étude peut se rendre rigoureuse en procédant exactement comme dans cette section.