Question 09
La limite \[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+1}{n(n+3)}\right)^{n} \] existe et vaut
  • \(e^{-3}\)
  • \(0\)
  • \(e^{-1}\)
  • \(1\)
\[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+1}{n(n+3)}\right)^{n} &=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+3n-3n+1}{n(n+3)}\right)^{n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{-3n+1}{n(n+3)}\right)^{n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a_n}{n}\right)^{n}\,, \end{aligned}\] où \(a_n=\frac{-3n+1}{n+3}\to -3\).

Vidéo (David Strütt)