Question 01
La série \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{\lambda n}}{n^{1+\lambda}} \] converge si et seulement si \(\lambda\in I\), où \(I\) est l'ensemble
  • \(\left]-\infty,-1\right[\)
  • \(\left]-\infty,0\right[\)
  • \([-1,+\infty[\)
  • \(\left]-\infty,0\right]\)
On utilise le critère de Cauchy: \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{e^\lambda}{1}\,, \] où on a utilisé le fait que \[ \lim_{n\to\infty}n^{(1+\lambda)/n} = \lim_{n\to\infty}\exp\left((1+\lambda)\frac{\log(n)}{n}\right) =e^0=1\,. \] Donc on sait déjà que la série converge (absolument) si \(\lambda\lt 0\), diverge si \(\lambda\gt 0\). Puis, lorsque \(\lambda=0\), la série diverge puisque c'est la série harmonique.

Vidéo (David Strütt)