Question 18
L'intégrale \(\displaystyle \int_0^{1} \frac{x}{\sqrt{x+1}} \,\mathrm{d}x\) vaut
  • \(\displaystyle \frac{8-2\sqrt{2}}{3}\)
  • \(\displaystyle 4-2\sqrt{2}\)
  • \(\displaystyle \frac{4-2\sqrt{2}}{3}\)
  • \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{3}\)
Avec par exemple \(u=x+1\), \[\begin{aligned} \int_0^{1} \frac{x}{\sqrt{x+1}} \,dx &=\int_1^2\frac{u-1}{\sqrt{u}}\,du\\ &=\int_1^2\left(\sqrt{u}-\frac{1}{\sqrt{u}}\right)\,du\\ &=\left( \frac23 u^{3/2}-2\sqrt{u} \right)\Big|_{1}^2\\ &=\frac43-\frac23\sqrt{2}\,. \end{aligned}\] Vidéo (David Strütt)