Par définition, \[ \int_1^{+\infty}\frac{\log(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t =\lim_{L\to+\infty} \int_1^{L} \frac{\log(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t \] Par parties: \[\begin{aligned} \int\frac{\log(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t &=\int \log(t)\cdot \frac{1}{t^2}\,dt\\ &=\log(t)\cdot \frac{-1}{t} -\int \frac{1}{t}\cdot \frac{-1}{t}\\ &=-\frac{\log(t)}{t} -\frac{1}{t}+C\,, \end{aligned}\] donc \[ \int_1^{L}\frac{\log(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t =-\frac{\log(L)}{L} -\frac{1}{L}+1\,, \] qui tend vers \(1\) lorsque \(L\to\infty\).

Remarque: On aurait aussi pu intégrer en passant par le changement de variable \(x=\log(t)\).

Vidéo (David Strütt)