Question 14
Soit \(f(x)=\log\left(\dfrac{3}{2}+x\right)\). Alors, le développement limité d'ordre 2 de \(f\) autour de \(x_0=0\) est donné par
  • \(\log\left(\frac{1}{2}\right)+x-\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon(x)\)
  • \( \log\left(\frac{3}{2}\right)+\frac{2}{3}x-\frac{2}{9}x^2+x^2\varepsilon(x)\)
  • \( \log\left(\frac{3}{2}\right)+\log\left(\frac{3}{2}\right)x-\frac{\log\left(\frac{3}{2}\right)}{2}x^2 +x^2\varepsilon(x)\)
  • \( \log\left(\frac{3}{2}\right)+\frac{2}{3}x+\frac{2}{9}x^2 +x^2\varepsilon(x)\)
On peut faire par la formule de Taylor (puisque \(f\) est infiniment dérivable en zéro), et donc commencer par \[ f'(x)=\frac{1}{3/2+x}\,,\qquad f''(x)=\frac{-1}{(3/2+x)^2}\,, \] qui donne \[\begin{aligned} f(x) &=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+x^2\varepsilon(x)\\ &=\log(\tfrac32)+\tfrac23x-\tfrac{2}{9}x^2+x^2\varepsilon(x)\,. \end{aligned}\] Sinon, on peut aussi écrire \[\begin{aligned} f(x) &=\log\left(\tfrac32\left(1+\tfrac23 x\right)\right)\\ &=\log(\tfrac{3}{2})+\log\left(1+\tfrac23 x\right)\,, \end{aligned}\] et injecter \(t=\frac23 x\) dans le développement limité d'ordre \(2\) de \(\log(1+t)\) autour de \(t_0=0\).

Vidéo (David Strütt)