Soit \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la fonction définie par
\[ f(x)=
\begin{cases}
\frac{x}{3} &\text{ si }x\leqslant 0\,,\\
\frac{\log(x^2+1)}{3x} &\text{ si }x \gt 0
\end{cases}
\]
Alors
\(f\) n'est pas continue sur \(\mathbb{R}\)
\(f\) est continue mais n'est pas dérivable sur \(\mathbb{R}\)
\(f\) est dérivable mais pas continûment dérivable sur \(\mathbb{R}\)
\(f\) est continûment dérivable sur \(\mathbb{R}\)
On calcule:
\[
f'(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{3} &\text{ si }x\lt 0\,,\\
\frac13\left(
-\frac{\log(x^2+1)}{x^2}+\frac{2}{x^2+1}
\right) &\text{ si }x \gt 0\,,
\end{cases}
\]
et \(f_-'(0)=f'_+(0)=\frac13\), donc \(f\) est dérivable partout.
Comme \(f'\) est continue en tout point \(x\neq
0\) et \(\lim_{x\to 0^-}f'(x)=\lim_{x\to 0^+}f'(x)=\frac13\), on en déduit que
\(f\) est continûment dérivable sur \(\mathbb{R}\).